Опыт - выстрел по мишени; событие D - попадание.

Вероятность событий.

1. Определения вероятности.

1.1. классическое определение;

1.2. статистическое определение;

1.3. геометрическое определение;

1.4. алгоритм.

2. Свойства вероятностей.

2.1. аксиомы теории вероятностей

2.2. теорема умножения;

2.3. теорема сложения;

2.4. алгоритм.

3. Основные формулы для вероятностей сложных событий.

3.1. формула полной вероятности;

3.2. формула Байеса;

3.3. алгоритм.

4. Литература.

1. Ранее определили, что теория вероятностей изучает случайные события, наступления которых возможны при массовых опытах. И основной задачей является: определение количественной меры возможности появления события.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Опыт - броса­ние монеты; событие A - появление герба.

2. Опыт - броса­ние трех монет; событие B - появление трех гербов.

Опыт передача группы из n сигналов; событие C - искажение хотя бы одного из них.

Опыт - выстрел по мишени; событие D - попадание.

5. Опыт - вынимание наугад одной карты из коло­ды; событие Е - появление туза.

6. Тот же опыт, что в при­мере 5; событие F - появление карты червонной масти.

Рассматривая примеры 1, 2, 3 видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности - одни большей, а другие меньшей, причем для некоторых из них мы сразу можем решить, какое из них бо­лее, а какое менее возможно. Например, событие в первом опыте более воз­можно (вероятно), чем во втором, а событие в шестом опыте более возможно, чем в пятом. Сравнивая между собой по степени возмож­ности различные события, считают более вероят­ными те события, которые происходят чаще, менее вероятными - те, которые происходят реже; маловероятными - те, кото­рые вообще не происходят.

Например, событие "выпадение дождя в Москве 1-го июня предстоящего года" более вероят­но, чем "выпадение снега в Москве тот же день", а событие "землетрясения в Москве, превышающее по интенсивности 3 балла, в течение предстоящего года" крайне мало вероятно (хотя такое землетрясение и наблюдалось в 1977 г., и ста­тистика говорит, что подобные события происходят раз в 100 лет).

Таким образом, понятие вероятности события с самого начала тесно увязывается с понятием его частоты.

Любое случайное событие обладает какой-то степенью воз­можности, которую в принципе можно измерить численно. Что­бы сравнивать события по степени их возможности, нужно связать с каждым из них какое-то число, которое тем боль­ше, чем больше возможность события. Отсюда появляется понятие вероятности, которое обозначается Р(событие) – количественная мера возможности появления события.

Существует класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов можно вычислить, исходя непосредственно из самих условий опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого были объ­ективно одинаково возможными. Для всякого опыта, обладающего симметрией возможных ис­ходов, можно применить прием, который называ­ется непосредственным подсчетом вероятностей. В настоя­щее время формального определения вероятности не дается, т. к. это понятие считается первичным и не определяется.

Напомним, что количество элементарных исходов события (пространство элементарных исходов) может быть конечным и бесконечным.

1.1.

Рассмотрим случай, когда пространство элементарных исходов конечно.

Пусть проводится опыт, который можно воспроизвести неограниченно много раз. Для данного опыта можно указать группу из конечного числа элементарных исходов, обладающих следующими свойствами:

- в результате опыта наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов;

- все элементарные исходы данного опыта равновозможны.

Тогда, если выполнены эти условия, то для любого события А, представимого в виде суммы m исходов из всевозможных исходов, будет справедливо равенство:

Р(A) = m / n.

При этом те элементарные исходы, которые в сумме составляют событие А, называют благоприятными для события А, остальные элементарные исходы – неблагоприятными для события А. Отсюда формула читается так: вероятность для события А равна отношению числа элементарных исходов, благоприятных для события А (m), к общему числу элементарных исходов (n).

Способ подсчета вероятностей, основанный на данной формуле называется классическим. Иногда данная формула рассматривается как определение вероятности и называется классическое определение вероятности.

◄ Задача. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта окажется тузом.

Решение. σ – вынимается одна карта из колоды.

А – вынутая карта оказалась тузом.

Так как при испытании наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов и все элементарные исходы данного опыта равновозможны, то будет использоваться классическое определение вероятности.

n = 36, m = 4.

P(A)= . ►

◄Задача. В урне 10 шаров, из которых 3 белых и 7 черных. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?

Решение. Пусть σ – извлечение шара из урны.

Событие A - извлеченный шар оказывается белым.

Так как при испытании наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов и все элементарные исходы данного опыта равновозможны, то будет использоваться классическое определение вероятности.

Данное испытание имеет n = 10 равновероятных исходов, из которых для события A благоприятны три (m). Следовательно, Р(A)=3/10 ►

◄Задача. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта, по жеребьевке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?

Решение. Пусть σ – проводится жеребьевка.

Событие A – выбранные студенты являются мастерами спорта.

Так как при испытании наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов и все элементарные исходы данного опыта равновозможны, то будет использоваться классическое определение вероятности.

Данное испытание имеет n = С₁₂³ равновероятных исходов, из которых для события A благоприятны С₅³ (m). Тогда искомая вероятность равна:

►

1.2.

Количество элементарных исходов события (пространство элементарных исходов) может быть конечным и бесконечным.

Рассмотрим случай, когда пространство элементарных исходов бесконечно.

Для данного опыта для элементарных исходов можно указать следующие условия:

- множество исходов опыта можно представить как некую область G из n-мерного Евклидова пространства;

- возможность попадания для любого события А в область g G определяется лишь мерой области g и не зависит ни от формы, ни от его расположения внутри G. Мера – длина, площадь, объем.

Таким образом, вероятность попадания события А в область g равна отношению меры области g (mes g), к меры области G (mes G), т.е.

Р(А) = mes g / mes G.

Способ подсчета вероятностей, основанный на данной формуле называется геометрическим и определение вероятности называется геометрическим определением вероятности.

◄Задача.. Биатлонист стреляет в мишень. Мишень - круг радиуса R = 4 cм.

Попадание в любую точку мишени равновероятно. Необходимо попасть в круг радиуса r = 1 см.

Решение. σ – стрельба по мишени.

А – биатлонист попадает в мишень.

Так как при испытании множество исходов опыта можно представить как некую область и возможность попадания для любого события А в область определяется лишь мерой области, то будет использоваться геометрическое определение вероятности.

mes g = πr² mes G=πR²

► ◄ Задача. Мария и Иван хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1 часа пополудни. Они люди безалаберные и каждый из них появится на месте встречи в свой случайный момент времени или соответственно из отрезка . Они условились, что каждый пришедший ждет своего товарища в течение 15 минут или до момента времени t=1, если от момента прихода до момента времени t=1 остается меньше 15 минут.

Какова вероятность, что Мария и Иван встретятся?

Решение: σ – встреча двух людей.

А – встреча состоится.

Так как при испытании множество исходов опыта можно представить как некую область и возможность попадания для любого события А в область определяется лишь мерой области, то будет использоваться геометрическое определение вероятности.

Сделаем следующее построение. Введем прямоугольную систему координат X0Y. Полагаем х= , y= . Тогда точка с координатами х и у соответствует приходу Марии в момент х= и приходу Ивана в момент y= . Достоверному событию соответствует на плоскости ХОУ квадрат : Событию А, которое осуществляется тогда и только тогда, когда Мария и Иван встретятся соответствует область , которая состоит из точек, лежащих в квадрате и к тому же удовлетворяющих условию , т.е. :

По формуле получаем

Р(А)= S / S =1–2∙(1/2)∙(3/4) =1–9/16=7/16►

◄Задача. В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника

Решение: σ – в круг бросается точка.

А – точка окажется внутри правильного треугольника.

Так как при испытании множество исходов опыта можно представить как некую область и возможность попадания для любого события А в область определяется лишь мерой области, то будет использоваться геометрическое определение вероятности.

Искомая вероятность площади треугольника равна отношению к площади круга:

mes g = ½ а² sin60 = 1|2∙ (√3R)²∙ √3/2 = 3√3 R²/4 mes G=πR²

►

◄Задача. Из отрезка [0, 2] наудачу выбраны два числа х и у. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х² ≤4у≤4х.

Решение.: σ – Из отрезка [0, 2] наудачу выбирают два числа х и у.

А – эти числа удовлетворяют неравенствам х² ≤4у≤4х.

Так как при испытании множество исходов опыта можно представить как некую область и возможность попадания для любого события А в область определяется лишь мерой области, то будет использоваться геометрическое определение вероятности.

По условиям опыта координаты точки (х, у) удовлетворяют системе неравенств

Это значит, что точка (х, у) наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной 2. Интересующее нас событие происходит в том и только в том случае, когда выбранная точка (х, у) окажется в заштрихованной фигуре. Эта фигура получена как множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам х² <=4у<= 4х.. Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади квадрата:

►

1.3.

Рассмотрим случай, когда пространство элементарных исходов конечно. Пусть проводится опыт, который можно воспроизвести неограниченно много раз. И пусть событие А – случайное событие по отношению к некоторому опыту, который обладает следующими свойствами:

- можно повторить неограниченно много раз,

- при одних и тех же условиях.

Предположим, что данный опыт произведен N раз и при этом событие А наступило в М случаях. Составим отношение:

M / N,

оно называется частотой наступления события А в рассматриваемой серии опытов.

Для весьма многих случайных событий частота обладает свойством устойчивости. Это означает, что с увеличением числа опытов частота стабилизируется, приближается к некоторой постоянной р(А). Она и называется вероятностью события А.

Таким образом, вероятностью события А называется число, относительно которого устанавливается относительная частота при неограниченном увеличении числа испытаний (опытов), т.е.

Р*(А) = M / N,

где M – число появления события А в серии опытах,

N – число опытов в серии.

Способ подсчета вероятностей, основанный на данной формуле называется статистическим и определение вероятности называется статистическим определением вероятности.

◄Задача. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков.

Решение. σ – наблюдение за новорожденными.

А – ребенок - мальчик.

Так как опыт можно повторить неограниченно много раз при одних и тех же условиях, то будет использоваться статистическое определение вероятности.

M=515, N = 1000.

Частота рождения мальчика в такой серии наблюдений равна Р*(А) = 0,515.►

◄Задача. Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях.

Решение. σ – бросание монеты.

А – выпадение герба.

Так как опыт можно повторить неограниченно много раз при одних и тех же условиях, то будет использоваться статистическое определение вероятности.

Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Р*(А) = 2048/ 4040 = 0,50693►

◄ Задача. Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24 000 раз, причем герб выпал 12 012 раз.

Решение. σ – бросание монеты.

А – выпадение герба.

Так как опыт можно повторить неограниченно много раз при одних и тех же условиях, то будет использоваться статистическое определение вероятности.

Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Р*(А) = 12012 / 24000 = 0,5005►

◄ Задача. Баскетболист А из некоторого положения попал в кольцо 4 раза при 11 бросках. Баскетболист В из этого же положения – 6 раз при 18 бросках. Какому из игроков доверить выполнение штрафного удара из этого положения?

Решение. Найдем относительные частоты попадания в кольцо этими игроками: , . Так как , то выполнение штрафного лучше доверить игроку А. Если относительная частота больше, то больше и уверенность в успехе. ►

1.4.

Алгоритм нахождение вероятности одного события:

1 шаг: Установить, в чем состоит испытание, рассматриваемое в задаче (σ).

2 шаг: Проверить условие применимости соответствующего определения вероятности (классическое, статистическое, геометрическое).

3 шаг: Подсчитать число всех возможных исходов испытания (n, N, mes G).

4 шаг: Сформулировать событие, вероятность наступления которого необходимо найти (А).

5 шаг: Подсчитать число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию (m, M, mes g).

6 шаг: Вычислить вероятность по соответствующей формуле.

2.1.

Дата добавления: 2015-07-26