Ряд Фурье в комплексной форме

Пусть периодическая функция

(1) - ряд Фурье

где

В приложениях преимущественно пользуются другой, более компактной формой записи функции в виде ряда Фурье, называемой комплексной формой ряда Фурье.

Получить эту новую форму помогают известные тождества Эйлера, устанавливающие связь между тригонометрическими и показательными функциями:

(2)

С помощью формул (2) преобразуем общий член ряда (1):

Подставляя в формулу (1) вместо и найденные для них выражения, получим:

Из формул (1) вытекает, что если изменить знак , то сохранит свой знак, а поменяет его на противоположный.

Другими словами, - четная, а - нечетная функции относительно :

Учитывая это, выражение для можно переписать так:

При . Обозначая , окончательно получим:

Коэффициент определяется по формуле:

(3)

Его легко найти, если учесть формулы (1) и формулы Эйлера:

Т.о. ряд Фурье в комплексной форме имеет вид:

(4)

где определяется по формуле (3)

Для действительной функции коэффициенты и являются взаимно сопряженными комплексными числами:

Если прибегнуть к комплексной плоскости, то сказанное выше приобретает яркую геометрическую интерпретацию. Можно сказать, что ряд (4) содержит два бесконечных ряда сопряженных относительно оси действительных величин векторов, которые вращаются при изменении в противоположные стороны.

Геометрическая сумма каждой пары сопряженных векторов имеет только действительную составляющую рис 1.

В результате суммирования двух бесконечных рядов сопряженных векторов получается действительная функция .

Т.о. -ая гармоника ряда Фурье содержит два одинаковых компонента, равных проекциям вращающихся сопряженных векторов на ось действительных величин.

0 рис. 1

Амплитуда и фаза -ой гармоники выражается через и по формулам:

Замечание. Комплексная форма ряда Фурье для функции с периодом имеет вид:

Пример

Разложить в комплексный ряд Фурье периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом:

Решение

Проверив выполнение условий Дирихле для функции (рис. 2) переходим к вычислению коэффициентов Фурье по формуле:

рис. 2

[ член, стоящий в правой части последнего равенства, определяется по частям ]

Если , то полученные формулы не дают результата. Поэтому коэффициент С₀ надо вычислять иначе:

т.к. интеграл от нечётной функции по симметричному промежутку равен нулю.

Окончательно получим:

Это равенство имеет место лишь в (…) непрерывности функции . В (…) разрыва

где любое нечётное число, сумма ряда равна нулю.

Дата добавления: 2015-07-26