Троичная уравновешенная система.

Нетрадиционные системы счисления

Краткая история двоичной системы.

Как вы знаете, двоичная система счисления используется в компьютерах и цифровых технологиях. Но возникла она гораздо раньше.

Некоторые идеи, лежащие в основе двоичной системы, по существу были известны в Древнем Китае. Были они известны и древним индусам.

В Европе двоичная система появилась уже в новое время. В исторических романах упоминаются пинты и кварты: 1 кварта = 2 пинты ≈1 литр. 1 пинта = 1/8 часть галлона.

В английских мерах веса можно увидеть двоичный принцип, например, фунт содержит 12 унций.

Пропагандистом двоичной системы был Г.В.Лейбниц.

Есть поклонники и у шестнадцатеричной и у восьмеричной систем. Последнюю из них хотел ввести в Швеции Карл XII, но ряд обстоятельств помешали этому начинанию (среди них, вероятно, и занятость короля в военных кампаниях, в частности, в России).

1. Нетрадиционные системы счисления.

Все системы счисления, как вы помните, можно разделить на два вида: позиционные и непозиционные. В позиционной системе счисления количественный эквивалент цифры зависит от ее положения в записи числа. Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующих разрядов, называют базисом системы счисления. Для десятичной системы счисления это … 10³, 10², 10¹, 10⁰. Для двоичной - … 2³, 2², 2¹, 2⁰. Для р-ичной - … р³, р², р¹, р⁰.

Из приведенных примеров видно, что базисы систем счисления образуют геометрическую прогрессию со знаменателем р.

Позиционные системы счисления, в которых цифры являются неотрицательными числами, а базис образуют члены геометрической прогрессии, называют классическими или традиционными.

Если одно из условий не соблюдается, то речь идет о нетрадиционной системе счисления. Рассмотрим некоторые примеры нетрадиционных систем.

Троичная уравновешенная система.

Использование двоичной системы счисления для представления информации в компьютере имеет два недостатка: проблема представления отрицательных чисел и нулевая избыточность. Второй недостаток означает отсутствие механизма обнаружения ошибок, которые неизбежно возникают в компьютерных системах под влиянием внешних и внутренних факторов.

Суть проблемы состоим в следующем. Пусть в процессе хранения или передачи информации произошло искажение. Например, вместо кода 1001 1010 получили 1 1 01 0 010. Поскольку обе комбинации являются «разрешенными» в двоичной системе, то без дополнительных действий (например, дублирование или подсчет контрольных сумм) невозможно определить, произошло искажение информации или нет.

Для преодоления недостатков использования двоичной системы для кодирования информации уже на этапе зарождения компьютерной эры был выполнен ряд проектов и сделано несколько интересных математических открытий, связанных с системами счисления. Наиболее интересным проектом является троичный компьютер «Сетунь».

В ЭВМ «Сетунь» применялась уравновешенная (симметричная) троичная система счисления для представления чисел, использование которой впервые в истории компьютеров поставило знак равенства между представлением отрицательных и положительных чисел, позволило отказаться от различных «ухищрений», используемых для представления отрицательных чисел.

ЭВМ «Сетунь» является наиболее ярким примером, подтверждающим влияние системы счисления на архитектуру компьютера!

Определение. Система счисления с основанием Р=3и цифрами 1, 0, 1, где 1 означает «минус единица», называется уравновешенной троичной или симметричной троичной системой счисления.

Примеры записи некоторых чисел в уравновешенной троичной системе:

Из приведенного примера понятно, почему эта система счисления называется уравновешенной или симметричной.

Отсюда можно также вывести таблицу сложения:

1 + 0 = 1 1 + 1 = 11 1 + 1 = 0 1 + 1 = 11.

Задание 5. Продолжить натуральный ряд до 20. Сделать проверку путем перевода в десятичную систему.

Алгоритм перевода чисел из десятичных системы счисления в троичную симметричную:

- перевести число в традиционную троичную;

- заменять цифру 2 числом 11, начиная слева направо, пользуясь таблицей сложения.

Пример. 50 = 1212₃.

1012 11110

11 11

11112 11011

Задание 6. Перевести числа 35 и 45 в троичную симметричную систему.

Ответ. 1101, 11100.

Особенность троичной системы – ее экономичность. Под экономичностью системы счисления понимается количество чисел, которое можно записать в данной системе с помощью определенного количества знаков.

Троичной системой счисления, связанной с задачами на взвешивание, интересовался Д.И. Менделеев в бытность свою председателем Российской палаты мер и весов.

---

Дата добавления: 2015-07-18