Ланцюг з двох розпадів

Ланцюговий розпад

Тепер розглянемо випадок з двох розпадів у ланцюзі: один нуклід A розпадається в інший B, тоді B розпадається ще в наступний C, тобто A → B → C. Попереднє рівняння не можна застосувати до ланцюгу розпадів, але його можна узагальнити. Оскільки A розпадається в B, тоді B розпадається в C, активність речовини A додає нукліди B, до того як ці нукліди речовини B розпадуться. Інакше кажучи, кількість ядер речовини другого покоління B збільшується у висліді розпаду речовини A і зменшується внаслідок власного розпаду в речовину третього покоління C. Сума цих двох доданків і дає закон для ланцюгу розпаду для двох нуклідів:

Швидкість зміни N_B, яка є d N_B /d t, стосується змін кількості A і B, N_B може зростати оскільки B утворюється з A і убувати оскільки B утворює C.

Переформулювання із використанням попередніх результатів:

Нижні індекси просто вказують на відповідні нукліди, тобто N_A це кількість нуклідів типу A, N_{A 0} це початкова кількість нуклідів типу A, λ_A це стала розпаду для A — і схоже для нукліду B. Розв'язання рівняння для N_B дає:

Природно, це рівняння зводиться до попереднього у випадку якщо B є стабільним нуклідом (λ_B = 0):

як показано вище для одиночного розпаду. Розв'язок можна знайти через використання інтегрувального множника, де інтегрувальний множник є eλBt і потім взяти визначений інтеграл від 0 до t.

Ланцюг з килькох розпадів

Для загального випадку будь-якої кількості послідовних розпадів у ланцюзі розпадів, тобто A₁ → A₂ ··· → A _i ··· → A _D, де D це кількість розпадів і i це індекс (i = _{1, 2, 3,... D} ), кожну сукупність нуклідів можна знайти у виразах попередніх сукупностей. У випадку N ₂ = 0, N ₃ = 0,…, N_D = 0. Використовуючи попередній результат в рекурсивній формі:

Загальний розв'язок для рекурсивної задачі можна отримати через рівняння Бейтмана:^[4]

Рівняння Бейтмана

Дата добавления: 2015-07-18