Теоретическая часть. Цель: практическое нахождение объёмов многогранников и тел вращения

Цель: практическое нахождение объёмов многогранников и тел вращения. Сравнение объёмов в зависимости от размеров фигур и их формы.

Теоретическая часть

1.1) Объем пирамиды:

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

Формула объема пирамиды: V=1/3*Sосн*h

где V - объем пирамиды,

Soсн - площадь основания пирамиды,

h - длина высоты пирамиды.

1.2) Объем призмы:

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы: V= Sосн*h

где V - объем призмы,

Soсн - площадь основания призмы,

h - высота призмы.

1.3) Объем цилиндра:

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формула объема цилиндра: V = П*R²*h

где V - объем цилиндра,

R - радиус цилиндра,

h - высота цилиндра.

П = 3.141592.

1.4) Объем конуса:

Объем конуса равен трети от произведения Пи на его радиус в квадрате и высоту.

Формула объема конуса: V=⅓*П*R²*h

где V - объем конуса,

R - радиус основания конуса,

h - высота конуса,

П = 3.141592.

1.5) Объем усеченного конуса:

Формула объема усеченного конуса V=⅓*П*h(R²+R*r+r²)

R- радиус нижнего основания

r- радиус верхнего основания

h- высота конуса

П = 3.141592.

1.6) Формула для нахождения объёма с помощью интеграла:

1. Заключаем тело Т между двумя параллельными плоскостями.

2. Вводим систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна плоскостям.

3. Проводим плоскость Ф(х) параллельно плоскостям через точку с абсциссой х.

4. Определяем вид сечения и выражаем площадь через функцию S(х).

5. Проверяем, является ли функция S(х) непрерывной на [a;b]

6. Разбиваем [a;b] на n - равных отрезков точками а = х0, х1, х2, …хn=b

и проводим через хi плоскости перпендикулярно ОХ.

7. Плоскости разбивают тело Т на n- тел Т1, Т2, Т3,... Тn с основаниями Ф(хi) и высотой Dxi= (b - a)/n

8. V»Vn= (S(x1) + S(x2) +…+ S(xn))Dxi= =(S(x1) + S(x2) +…+ S(xn))(b - a)/n. При n ¥®, Vn®V, поэтому

но

9.

1.7)Вывод формулы объёма на примере пирамиды:

1. Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС.

2. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой.

3. Эта призма составлена из трех пирамид:

1) данной пирамиды SABC.

2) пирамиды SCC₁B₁.

3) и пирамиды SCBB₁.

4. У второй и третьей пирамид равные основания СС₁В₁ и В₁ВС и общая высота, проведенная из вершины S к грани параллелограмма ВВ₁С₁С. Поэтому у них равные объемы.

5. У первой и третьей пирамид тоже равные основания SAB и BB₁S и совпадающие высоты, проведенные из вершины С к грани параллелограмма АВВ₁S. Поэтому у них тоже равные объемы.

Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны 1/3Sh.

Дата добавления: 2015-07-18