Задачи 2.

1. В треугольник ABC со сторонами AB = 5, BC = 7, CA = 10 вписана окружность. Прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и K, касается этой окружности. Найдите периметр треугольника MBK.

2. Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.

3. Докажите, что из точки A, лежащей вне окружности. можно провести ровно две касательные к окружности, причем длины этих касательных (т. е. расстояния от A до точек касания) равны.

4. Две окружности пересекаются в точках A и B. Точка X лежит на прямой AB, но не на отрезке AB. Докажите, что длины всех касательных, проведенных из точки X к окружностям, равны.

5. Угловая величина дуги равна 110o. Найдите угол между хордой и продолжением радиуса, проведённого в конец дуги.

6. На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B — 50 км, между A и C — 40 км, между C и D — 25 км, между D и A — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону).

7. а) Приведите пример расположения бензоколонок (с указанием расстояний между ними), удовлетворяющий условию задачи.

8. б) Найдите расстояние между B и C (укажите все возможности).

9. Монету в 1 копейку обкатывают вокруг такой же монеты.
а) Сколько она сделает полных оборотов вокруг своей оси?
б) А если её будут обкатывать вокруг монеты в полдоллара?
(Напомним, что диаметр копейки - 15 мм, диаметр монеты в полдоллара - 30 мм.)

10. Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.

11. Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что BAH = OAC.

12. На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке. M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD — вписанный четырехугольник.

13. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу пополам. Найдите углы треугольника.

14. Хорда AC окружности радиуса R образует с диаметром AB угол, равный . Найдите расстояние от точки C до диаметра AB.

15. Докажите, что окружность, построенная на стороне равностороннего треугольника как на диаметре, проходит через середины двух других сторон треугольника.

\
Дополнительные задачи на касательные к окружностям.
18 Расстояние между центрами двух окружностей с радиусами 2см и 3см равно 6см. Найдите длины отрезков их общих касательных.
19. Решите предыдущую задачу, если радиусы окружностей равны 3дм и 6дм, а расстояние между центрами этих окружностей равно 12дм.
20. Две окружности касаются внешним образом. Длина отрезка их общей касательной равна 6см. Найдите радиус одной из них, если радиус другой равен 4см.

Дата добавления: 2015-07-15