Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Исследовать на сходимость им абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды

Читайте также:
  1. Абсолютная и условная сходимость
  2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
  3. ЗАДАНИЕ 2. Экспериментально исследовать условия резонанса струны, определить ее плотность и скорость распространения в ней упругих колебаний резонансным методом.
  4. Задание №5. Исследовать заданную функцию на экстремум
  5. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
  6. Знакочередующиеся ряды
  7. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

8.10

8.11

8.12

8.13

8.14

8.15

8.16

8.17

8.18

8.19

8.20

8.21

8.22

8.23

8.24

8.25

8.26

8.27

8.28

8.29

8.30 .


 

Решение типового варианта ИДЗ №1

Пример 1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму.

Решение. Общий член данного ряда представим в виде суммы простейших дробей:

,

,

 

, поэтому .

Найдем сумму первых п членов ряда:

.

Далее вычислим сумму ряда:

,

т.е. ряд сходится и его сумма .

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами

.

Решение. Воспользуемся признаком Д¢Аламбера. Имеем:

, ,

,

т.е. данный ряд сходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами

.

Решение. Согласно радикальному признаку Коши, имеем: ,

,

т.е. исходный ряд сходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами

.

Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Для этого исследуем несобственный интеграл:

.

Поскольку данный интеграл сходится, то сходится и исследуемый интеграл.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами

.

Решение. Исследуем данный ряд с помощью предельного признака сравнения, который состоит в следующем. Если , , , то ряды с такими общими членами ведут себя одинаково в смысле сходимости: или оба сходятся, или оба расходятся. Имеем . В качестве ряда, с которым будем сравнивать исходный ряд, возьмем гармонический расходящийся ряд с общим членом . Тогда

(здесь мы использовали первый замечательный предел).

Итак, исследуемый ряд расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами

.

Решение. Для этого ряда необходимый признак сходимости рядов () не выполняется. Действительно,

,

т.е. исходный ряд расходится.

Пример 7. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд

.

Решение. Воспользуемся признаком Лейбница. Имеем:

, ,

т.е. данный ряд сходится.

Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда:

  . (*)

Применим признак Д¢Аламбера:

,

т.е. ряд (*) сходится. Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится.

Пример 8. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд

.

Решение. Для ряда выполняется признак Лейбница. Ряд – гармонический (расходящийся). Тогда ряд сходится условно. Сумма сходящегося и расходящегося рядов представляет собой расходящийся ряд. Значит, исследуемый ряд расходится.

ИДЗ-2


Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 145 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды.| Типовой расчет №5 по теме "Ряды".

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)