Читайте также:
|
8.1 
8.2 
8.3 
8.4 
8.5 
8.6 
8.7 
8.8 
8.9 
8.10 
8.11 
8.12 
8.13 
8.14 
8.15 
8.16 
8.17 
8.18 
8.19 
8.20 
8.21 
8.22 
8.23 
8.24 
8.25 
8.26 
8.27 
8.28 
8.29 
8.30 
.
Решение типового варианта ИДЗ №1
Пример 1. Доказать сходимость ряда 
и найти его сумму.
Решение. Общий член 
данного ряда представим в виде суммы простейших дробей:
,
,
, поэтому 
.
Найдем сумму первых п членов ряда:
.
Далее вычислим сумму ряда:
,
т.е. ряд сходится и его сумма 
.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами
.
Решение. Воспользуемся признаком Д¢Аламбера. Имеем:
, 
,
,
т.е. данный ряд сходится.
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами
.
Решение. Согласно радикальному признаку Коши, имеем: 
,
,
т.е. исходный ряд сходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами
.
Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Для этого исследуем несобственный интеграл:
.
Поскольку данный интеграл сходится, то сходится и исследуемый интеграл.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами
.
Решение. Исследуем данный ряд с помощью предельного признака сравнения, который состоит в следующем. Если 
, 
, 
, то ряды с такими общими членами ведут себя одинаково в смысле сходимости: или оба сходятся, или оба расходятся. Имеем 
. В качестве ряда, с которым будем сравнивать исходный ряд, возьмем гармонический расходящийся ряд с общим членом 
. Тогда
(здесь мы использовали первый замечательный предел).
Итак, исследуемый ряд расходится.
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами
.
Решение. Для этого ряда необходимый признак сходимости рядов (
) не выполняется. Действительно,
,
т.е. исходный ряд расходится.
Пример 7. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд
.
Решение. Воспользуемся признаком Лейбница. Имеем:
, 
,
т.е. данный ряд сходится.
Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда:
 .
| (*) |
Применим признак Д¢Аламбера:
,
т.е. ряд (*) сходится. Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится.
Пример 8. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд
.
Решение. Для ряда 
выполняется признак Лейбница. Ряд 
– гармонический (расходящийся). Тогда ряд сходится условно. Сумма сходящегося и расходящегося рядов представляет собой расходящийся ряд. Значит, исследуемый ряд расходится.
ИДЗ-2
Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 145 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды. | | | Типовой расчет №5 по теме "Ряды". |