Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям

Теоретические сведения

Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена

1.Разложение функции в ряд Маклорена.

. Областью сходимости ряда является промежуток .

2. Разложение функции в ряд Маклорена.

. Областью сходимости ряда является промежуток .

3. Разложение функции в ряд Маклорена.

. Областью сходимости ряда является промежуток .

4. Биномиальный ряд. Разложим в ряд Маклорена функцию , где –любое действительное число.

при .

5. Разложение функции в ряд Тейлора.

При имеет место разложение:

.

6. Разложение функции в ряд Маклорена

. Область сходимости .

7. Разложение функции в ряд Маклорена.

Область сходимости .

Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию .

Очевидно, . Обозначим и воспользуемся биномиальным рядом при .

, .

Возвращаясь к переменной , получаем при :

Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям

Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближенных вычислениях. Рассмотрим это на примерах.

Пример 1. Вычислить с точностью до 0,001.

Воспользуемся полученным разложением: .

Тогда:

Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.

Пример 2. Вычислить с точностью до 0,001.

. Используем биномиальный ряд: , .

Так как ряд знакочередующийся и 0,00096<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,00096, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,001.

Для функции формула Тейлора имеет вид:

, где , .

При получаем знакоположительный числовой ряд; . , поэтому и . Тогда . Необходимо взять столько членов ряда, чтобы выполнялось условие или .

При получаем:

.

Так как 0,0002<0,0005, то достаточно взять четыре слагаемых.

Пример 4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение , методом последовательного дифференцирования.

Будем искать решение в виде ряда Маклорена:

.

, , , , , при .

При получаем: , , , при .

Окончательно получаем .

Дата добавления: 2015-07-17