Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Операционное исчисление используют при решении целого ряда практических задач, однако наибольшее применение оно получило при решении дифференциальных уравнений. Чтобы понять суть этого метода, рассмотрим самый простой случай – линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для простоты ограничимся линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Итак, пусть дано уравнение:

(5.1)

где , , - постоянные величины.

Требуется найти частное решение уравнения (5.1), удовлетворяющее начальным условиям:

; (5.2)

Пусть искомое решение , его производные и правая часть уравнения (5.1) являются оригиналами.

Обозначим

, (5.3)

По теореме о дифференцировании оригинала (3.8) – (3.9) имеем:

(5.4)

(5.5)

Так как левая и правая части дифференциального уравнения (5.1) равны между собой, то, по теореме о единственности изображения, их изображения так же должны быть равны друг другу:

или

(5.6)

Уравнение (5.6) называется вспомогательным уравнением или уравнением в изображениях. Таким образом, вместо уравнения (5.1) для оригинала получено алгебраическое уравнение для его изображения (5.6). Начальные условия при этом учитываются автоматически.

Тогда из (5.6) получаем решение уравнения в изображениях:

(5.7)

Это так называемое операционное решение уравнения. Восстанавливая по оригинал, получаем уравнение для .

Данный метод особо удобен, когда линейное дифференциальное уравнение можно решить только методом вариации Лагранжа, а интегралы при этом получаются довольно сложными, либо когда правая часть представлена в виде графика или функционального ряда.

Дата добавления: 2015-07-15