Уравнение вращательного движения тел. Момент инерции

Абсолютно твердое тело (АТТ) – тело, у которого объем, форма и распределение плотностей остаются неизменными во времени независимо от действия внешних сил и скорости движения тела. АТТ рассматривается как система материальных точек.

Вращением АТТ вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором траектории всех точек тела образуют окружности с центром на одной прямой, называемой осью вращения.

Для характеристики способности силы приводить тело во вращение используют физическую величину – вращающий момент силы (рис. 2). Она равна векторному произведению радиус-вектора и силы :

, М = F·r·sin ,

где величина r·sin называется плечом силы (кротчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы). Направление определяют по правилу правой руки: направьте четыре пальца правой руки по направлению вращения тела так, чтобы они могли охватить ось вращения, тогда отогнутый под прямым углом, большой палец, покажет направление вектора момента силы .

Разделим мысленно тело на N элементарных объемов с номером i и массой ∆ m _i каждый. Для любой из этих ∆ m _i справедлив 2-й закон Ньютона:

∆ = ∆ m _i· .

Умножим обе части векторно на радиус-вектор слева: Тогда

[ ∆ ] = ∆ m _i·[ ] = ∆ m _i· r_i ²· ,

где – угловое ускорение точек АТТ. Но и ∆ m _i· r_i ² = ∆ I_i.

Для суммы N элементарных объемов получим: , где величину называют моментом инерции твердого тела (или системы материальных точек). Величина момент инерции J характеризует инертные свойства во вращательном движении, т. е. способность тела сохранять свою угловую скорость. При определении момента инерции тела необходимо указывать, относительно какой оси он рассчитан.

[ I ] =кг·м².

Тогда получаем основной закон динамики вращательного движения – угловое ускорение, испытываемое твердым телом при вращении его вокруг оси, пропорционально моменту внешних сил относительно этой оси и обратно пропорционально моменту инерции относительно той же оси.

Кинетическая энергия вращающегося тела рассчитывается по формуле:

.

Если же тело, кроме вращательного движения, участвует ещё и в поступательном движении (например, катящийся шар), то кинетическая энергия его складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

–.

кинетическая энергия АТТ равна сумме кинетический энергии поступательного движения массы тела, мысленно сосредоточенной в его центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии тела, обусловленной его вращательным движением относительно центра масс.

Дата добавления: 2015-07-17