Оценивание ARMA моделей

Для оценки коэффициентов AR(p) модели

можно применить обычный МНК. Поскольку регрессоры _p относятся к предыдущим моментам времени (фиксированы), - белый шум и . МНК-оценки в этом случае будут смещенными, но состоятельными, несмотря на присутствие стохастического регрессора. Если же имеют нормальное распределение, то МНК оценки также будут асимптотически нормальными.

Для моделей MA(q) и ARMA(p, q) невозможно аналитически выразить остаточную сумму

квадратов через и параметры модели. Поэтому МНК для оценки таких моделей применять нельзя. Существует несколько процедур работы с подобными моделями, в том числе МНП, нелинейный МНК, поиск на сетке и пр.

Нелинейный МНК

При оценке моделей с MA(q), q>0 составляющей существенным оказывается условие обратимости модели.

Рассмотрим МА(1) - модель: .

Выразим через (наблюдаемые) и (ненаблюдаемое).

Оценка параметра может быть получена путем минимизации суммы квадратов

которая является нелинейной функцией от . Для поиска минимума этой функции используются

численные методы оптимизации, требующие задания «стартового» значения параметра . Так значение может быть получено на этапе идентификации модели.

Полученное в итоге значение зависит от неизвестного значения , что затрудняет интерпретацию результатов. Однако, если выполнено условие обратимости , то при , поэтому можно положить . Эффект от замены истинного значения на нулевое убывает экспоненциально с ростом и сумма квадратов служит хорошей аппроксимацией для при большом количестве наблюдений. Те же рассуждения пригодны для модели MA(q) с , где можно положить . Для получения более точной аппроксимации в статистических пакетах, включая Eviews предусмотрена процедура «обратного» прогноза (backforecasting), в которой процесс итераций включает в себя также оценивание значений .

Процедура обратного прогноза выглядит следующим образом:

Используя стартовые значения коэффициентов и , вычисляется безусловный прогноз

Затем проводится обратная рекурсия

.

Т.о.

Затем прямая рекурсия

Затем минимизируют сумму квадратов остатков

Если в результате оценивания получена модель, в которой условие обратимости не выполняется, рекомендуется повторить процедуру оценивания с использованием другого набора начальных значений.

Задание 1: Рассмотрим AR(2) процесс:

где - белый шум, т.е. н.о.р.с.в., для всех .

Выписать характеристического уравнения и найти его корни. Является ли рассматриваемый процесс стационарным?

Иначе уравнение записывается как

(характеристическое уравнение)

Процесс стационарен, если все корни вещественные и комплексные характеристического уравнения удовлетворяют условию:

(лежат вне единичного круга).

Для комплексного корня .

1) Смоделировать реализацию данного процесса ( ).

smpl @first @first+1

genr y=0

smpl @first+2 @last

genr y=0.5+1.2*y(-1)-0.36*y(-2)+nrnd

smpl @all

2) Провести идентификацию модели на основе анализа ACF и PACF и Q - статистики.

3) Оценить модели AR(1) и AR(2) сравнить полученные результаты, свойства оценок, значения информационных критериев. Получить оценки среднего значения и сравнить с теоретическим значением.

4) Оценить модель с помощью нелинейного МНК сравнить значения оценок, посмотреть на значения корней характеристического уравнения.

5) Проверить модель на оптимальность: провести оценку моделей AR(2), AR(3), AR(4), посмотреть на значимость коэффициентов, сравнить значения информационных критериев.

Задание 2: В файле spread.wfl приведены квартальные данные величине interest rate spread для длинных и коротких ценных бумаг Великобритании. Короткие бумаги – 91 Treasury bills; длинные бумаги – 20 years UK Gilts. Данные за период с I:1952 по IV: 2005. Период наблюдения с I:1952 по IV: 1987.

1) Вычислить значения ACF и PACF и Q – статистики. Проверить на значимость с помощью доверительных границ и критерия Стьюдента.

2) Оценить модель AR(1). Получить оценку среднего значения для ряда. Проверить модель на адекватность (h-статистика; ACF, PACF; LM - тест). Вычислить значения информационных критериев.

3) Оценить модель AR(2). Получить оценку среднего значения для ряда. Проверить модель на адекватность (h-статистика; ACF, PACF; LM - тест). Вычислить значения информационных критериев. Сравнить с пунктом 2).

4) Выписать характеристическое уравнение и найти корни. Проверить ряд на стационарность. Применить нелинейный МНК и сравнить оценки корней.

ls spread c ar(1) ar(2)

Дата добавления: 2015-07-17