Решение однородной системы ОДУ (3).

Решение линейной нормальной системы ОДУ.

Матричная запись линейной нормальной системы ОДУ.

{

А(x) (ij = 1,n) – заданные функции

F(x) (ij = 1,n) –так же заданные функции

Введём матрицу А

A= (a )

Y(x)= ( ) ()

F(x)= ()

Тогда система (1) запишется так:

(2)

Уравнение (2) есть матричная запись нормальной системы ОДУ (1).

Определние 1.

Система ОДУ (1) соответственно (2) называется линейной, если в ней коэффициенты а (ij= 1,n) зависят только от х (не зависит от y, либо является постоянным).

Определение 2.

Система ОДУ (1) называется однородной, если в ней в противном случае не однородны.

Ниже рассмотрим некоторые методы решения как неоднородной системы (2) так и однородной.

(3)

Решение однородной системы ОДУ (3).

Так же как и в случае нахождения общего решения ОДУ n-го порядка уравнения (3) необходимо ввести понятия фундаментальное решение.

Для этого необходимо воспользоваться понятием линейной зависимости и линейной независимости.

Эти понятия вводятся так же как при решении одного дифференциального уравнения, т.е. частное решение.

Yi(x) (i = 1,n) – называется линейно независимой, если выполняется неравенство

Причём

Где Yi – частное решение системы (1)

Предположим, что частное решение

Yi(x) (i=1,n) является линейно независимой, тогда общее решение запишется так:

Y(x) = Y (x) +c Y (x) +…=c Y (x) (4)

здесь c , с ,…,с – некоторые постоянные производные.

Таким образом, чтобы записать общее решение однородной системы ОДУ (3) нужно определить фундаментальное частное решение и записать общее решение в виде уравнения (4).

Возникает вопрос: Как проверить факт того что частное решение является линейно независимой.

Для этого необходимо использовать определитель Вронского

W(x) = W [Y , Y ,…, Y ] = (5)

где yij(x) (i = 1,n)

yij – частное решение однородной системы ОДУ(1).

Так же как и для обычных уравнений функции:

Yi(x) (i = 1,n) будут являться линейно независимыми для любого х, если определитель Вронского W(x) = 0.

Дата добавления: 2015-07-16