Механические колебания.

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты от времени задаётся уравнением, аналогичным уравнению , где . Согласно выражениям и , скорость и ускорение колеблющейся точки соответственно равны указанным выражениям (первая производная – скорость, вторая – ускорение). Сила , действующая на колеблющуюся материальную точку массой , с учётом вышеуказанных выражений, равна . Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена к противоположную сторону (к положению равновесия).

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна или . Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы , равна или . Сложив, получим формулу для полной энергии: .

Из формул следует, что энергии изменяются с частотой, в два раза большей частоты гармонического колебания.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида . Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур.

Пружинный маятник – это груз массой , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы , где - коэффициент упругости (жёсткости). Уравнение маятника: или . Из выражений и , следует, что пружинный маятник совершает колебания по закону с циклической частотой и периодом . Потенциальная энергия равна .

Физический маятник – это твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела.

Если маятник отклонён из положения равновесия на некоторый угол , то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твёрдого тела, момент возвращающей силы можно записать в виде , где - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку , - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника, - возвращающая сила. Уравнение можно записать в виде , или . Принимая , получим уравнение , идентичное уравнению , решение которого: .

Из этого выражения следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом , где - приведённая длина маятника.

Иначе, приведённая длина физического маятника– это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Точка на продолжении прямой , отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведённой длины , называется центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штейнера, получим , т.е. всегда больше . Точка подвеса и центра качаний обладают свойством взаимозаменяемости, при перемене их местами, период колебаний не изменится.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Момент инерции математического маятника равен , где - длина маятника.

Т.к. математический маятник можно представить как частный случай физического мятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке – центре масс, то, подставив выражение в формулу, получим выражение для периода малых колебаний математического маятника . Сравнивая формулу с формулой , видим, что если приведённая длина физического маятника равна длине математического маятника, то их периоды колебаний одинаковы. Следовательно, приведённая длина физического маятника– это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Раздел 2.

Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.

Закон затухающих колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно, рассматривают линейные системы – идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются (например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины - когда справедлив закон Гука).

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задаётся в виде , где - колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, - коэффициент затухания, - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при (при отсутствии потерь энергии), называется собственной частотой колебательной системы.

Решение уравнения рассмотрим в виде , где . После нахождения первой и второй производных и их подстановки, получим . Решение этого уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Если он положителен: (если ), тог получим уравнение типа , решением которого является функция . Таким образом, решение уравнения в случае малых затуханий () , где - амплитуда затухающих колебаний, а - начальная амплитуда.

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (минимумами) колеблющейся величины. Тогда период затухающих колебаний с учётом формулы , равен .

Если и - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение называется декрементом затухания, а его логарифм - логарифмический декремент затухания; – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз. Логарифмический декремент – постоянная для данной колебательной системы величина.

Раздел 3.

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся ЭДС, называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Дифференциальное уравнение.

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора , изменяющегося по гармоническому закону .

Если рассматривать механические колебания, то роль играет внешняя вынуждающая сила . С учётом силы, закон движения для пружинного маятника запишется в виде . Используя выражения и , придём к уравнению .

Если рассматривать электрический контур, то роль играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону ЭДС или переменное напряжение . Тогда уравнение с учётом выражений и можно записать в виде . Используя формулы и , придём к уравнению .

Указанные уравнения можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению .

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Частное решение найдём в комплексной форме.

Заменим правую часть уравнения на комплексную величину : . Частное решение этого уравнения будем искать в виде . Подставляя выражение для и его производных ( и ) в уравнение , получим .

Т.к. это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время из него должно исключаться. Отсюда следует, что . Учитывая это, из уравнения найдём и умножим её числитель и знаменатель на : . Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме , где и . Следовательно, решение уравнения в комплексной форме примет вид . Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения, равна . Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид . Решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного случая.

Зависимость амплитуды от частоты.

Для нахождения резонансной частоты , при которой амплитуда достигает максимума, нужно найти максимум функции , т.е. минимум подкоренного выражения. Продифференцировав его по и приравняв к нулю, получим условие, определяющее : . Это равенство выполняется только при , , у которых лишь положительное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота .

Зависимость фазы от частоты.

При изменении изменяется и сдвиг фаз . Из формулы вытекает, что при , а при , т.е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на . При дальнейшем увеличении сдвиг фаз возрастает и при , т.е. фаза колебаний противоположна фазе внешней силы.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте называется резонансом. При значение практически совпадает с собственной частотой колебательной системы. Подставляя в формулу , получим .

Раздел 4.

Сложение гармонических колебаний одного направления.

Сложим , воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды.

Т.к. векторы и вращаются с одинаковой угловой скоростью , то разность фаз между ними остаётся постоянной. Уравнение результирующего колебания: , где амплитуда задаётся выражением , а начальная фаза . Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления, совершает так же гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Биения.

Проанализируем выражения и в зависимости от разности фаз :

1. (), тогда , т.е. амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний.

2. (), тогда , т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Периодические изменение амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называется биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны , а частоты равны и , причём . Начало отсчёта выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю: . Складывая, и учитывая, что , найдём . Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой , амплитуда которого изменяется по закону . Частота изменения в 2 раза больше частоты изменения частоты изменения косинуса, т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний: . Период биений: .

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты , происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей и . Для простоты, выберем начало отсчёта так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю: .

Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражения параметра . Записывая колебания в виде и заменяя во втором уравнении на и на , получим уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно: . Такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз. Рассмотрим случаи:

1. (). Эллипс вырождается в отрезок прямой . Результирующее колебание является гармоническим с частотой и амплитудой , совершающимся вдоль прямой, составляющей осью угол . Это – линейно поляризованные колебания.

2. (). Тогда уравнение примет вид . Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам. Кроме того, если , то эллипс вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными, или колебаниями, поляризованными по кругу.

Автоколебания – это незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счёт постоянного внешнего источника энергии, причём свойства этих колебаний определяются самой системой.

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определёнными порциями в нужный момент времени (в такт с её колебаниями).

Примерами таких систем могут служить храповый механизм часов, двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т.д.

Раздел 5.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом. При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Поэтому, основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди волн можно выделить следующие типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных – в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации, т.е. в твёрдых, жидких и газообразных телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твёрдых телах – как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны . Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определённая фаза колебания за период, т.е. , или, учитывая что , где - частота колебаний, то .

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени , называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени – один. Если волновая поверхность представляет собой сферу, то волна называется сферической.

Бегущими волнами называют волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии (вектором Умова – для упругих волн). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направления распространения волны.

Уравнение бегущей волны.

Если колебания точек, лежащих в плоскости , описываются уравнением , то частица среды колеблется по тому же закону, но её колебания будут отставать по времени от колебаний источника на . Тогда уравнение бегущей волны: . Если волна распространяется в противоположном направлении, то .

В общем случае уравнение плоской волны в среде, не поглощающей энергию, имеет вид: , где - фаза плоской волны.

Для характеристики волн используют волновое число: .

Фазовая скорость.

Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т.е. . Продифференцировав и сократив на , получим , откуда . Следовательно, скорость распространения волны есть ничто иное, как скорость перемещения фазы волны – фазовой скорости. Иначе, фазовая скорость равна .

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением: или , где - фазовая скорость, - оператор Лапласа.

Интерференция – это явление усиления или ослабления результирующей волны при наложении в пространстве двух (или более) волн в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Рассмотрим наложение двух когерентных (разность фаз остаётся постоянной во времени) волн, возбуждаемых источниками, колеблющимися с одинаковой амплитудой и частотой и постоянной разностью фаз. Согласно уравнению , имеем и . Амплитуда результирующей волны в точке равна . - разность хода.

В точках где () наблюдается максимум.

Стоячие волны – это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Пусть две волны имеют вид . Тогда сложив эти два уравнения и учитывая, что , получим уравнение стоячей волны: . Амплитуда равна . В точках среды, где (), амплитуда колебаний достигает . А где (), амплитуда обращается в нуль.

Точки, в которых амплитуда максимальна, называются пучностями, а где равна нулю – узлами. Координаты пучностей: , , ().

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки стоячей волны меду двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами.

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении её распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны, переноса энергии нет, т.к. падающая и отражённая волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому, полная энергия результирующей стоячей волны, заключённой между узловыми точками, остаётся постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Дата добавления: 2015-07-15