Фигуры Лиссажу.

Биения

Когда складываемые колебания имеют одинаковое направление, но разные частоты, то результирующее колебание не будет гармоническим.

x₁=А₁ соs(w₁t+a₁) x₂=А₂ соs(w₂t+a₂)

Разность фаз будет равна

Тогда амплитуда результирующего колебания запишется в виде:

То есть амплитуда будет меняться во времени с частотой (w₂ - w₁).

Частным случаем сложения колебаний с различными частотами являются так называемые биения, то есть, колебания, возникающие при сложении двух одинаково направленных колебаний с мало отличающимися частотами.

Получим уравнение для биений, считая для простоты амплитуды и начальные фазы складываемых колебаний одинаковыми.

А₁= А_2, a₁=a₂=0

x₁=А соswt x₂=А соs(w+Dw) Dw<<w

Из этой формулы видно, что результирующее колебание можно приближенно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой A’(t).

На рис.1 приведен график биений, где - период колебаний, а - период биений (период изменения амплитуды).

Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.

Фигуры Лиссажу.

Предположим, что материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с одинаковыми частотами.

x=А₁cos(wt+a₁) y=А₂cos(wt+a₂)

Траектория результирующего колебания будет зависеть от разности фаз складываемых колебаний. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1) a₂-a₁=0, a₂=a₁=a

х =А₁cos(wt+a₁),

y =А₂cos(wt+a₂)

Таким образом, результирующее колебание будет тоже гармоническим с той же частотой и с той же начальной фазой, что и складываемые колебания. Совершается это колебание вдоль прямой S, составляющей угол j с осью Х.

Колебания, при которых траектория движения колеблющейся точки представляет собой прямую линию, называются линейно поляризованными колебаниями

2) a₂-a₁= ±p,

Пусть a₂=a₁+p (-p то же самое)

х =А₁cos(wt+a₁),

y =А₂cos(wt+a₁+p)= - А₂соs(wt+a₁)

В этом случае результирующее колебание будет происходить тоже по прямой, но проходит эта прямая через вторую и четвертую четверти.

3) a₂-a₁=

Пусть a₂=a₁+

х =А₁cos(wt+a₁)

y =А₂cos(wt+a₂) = А₂cos(wt+a₁+ ) = - А₂sin(wt+a₁)

)

В этом случае результирующее колебание будет происходить по эллипсу. При разности фаз a₂-a₁= движение происходит по часовой стрелке, а при разности фаз a₂-a₁= - против часовой стрелки. Колебания, при которых траектория колеблющейся точки представляет собой эллипс, называются эллиптически поляризованными колебаниями.

При А₁=А₂ эллипс превращается в окружность, колебания – циркулярно-поляризованные (или поляризованные по кругу)

Таким образом, два взаимно-перпендикулярных колебания с одинаковыми амплитудами и разностью фаз a₂-a₁= в сумме дают равномерное движение по окружности радиуса А с угловой скоростью w.

Обратно, равномерное движение по окружности может быть разложено на два взаимно-перпендикулярных колебания.

При других значениях разности фаз получаются эллипсы, не приведенные к осям Ох и Оy.

Можно получить формулу в общем виде:

Из этой формулы при соответствующих разностях фаз получаются рассмотренные нами частные случаи.

Если взаимно-перпендикулярные колебания происходят с различными частотами, то в результате сложения получаются траектории более сложной формы, называемые фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот и разности фаз складываемых колебаний.

Рассмотрим частные случаи.

1). x = A₁coswt

y = A₂cos2wt

Da=0

Результирующее движение происходит по параболе (рис.5).

2). x = A₁coswt

y = A₂cos(2wt+ )

Da=

Результирующее движение происходит по фигуре изображенной на рис.6

Если частота одного из колебаний известна, то по форме фигур Лиссажу можно определить частоту другого колебания. Можно определить также разность фаз.

Дата добавления: 2015-07-15