Энергия свободного электрона – непрерывная функция волнового вектора.

Энергия электрона в потенциальной яме.

С позиций квантовой механики электрон может быть представлен волной, описываемой волновой функцией Ψ(х) (волна де Бройля, «волна вероятности»- вероятность нахождения частицы в данном месте пространства в данный момент времени). Волновое число (скаляр)

k = 2 π / λ,

или волновой вектор

k = 2 π f / v,

где λ – длина волны (де Бройля), v – скорость частицы, f – частота (ν).

λ = h / (m v) = h / p,

где h - постоянная Планка, m - масса электрона, р – импульс частицы.

Волна, соответствующая свободному электрону, может беспрепятственно распространяться в любом направлении и принимать любые значения энергии

E = h f, E = (k h / 2π)²/ 2m, E = (ħ k)²/ 2 m,

ħ = h / 2π - нормированная постоянная Планка,

Энергия свободного электрона – непрерывная функция волнового вектора.

Плоская падающая волна соответствует равной вероятности нахождения электрона в пространстве.

Рис. Монохроматическая плоская волна свободной частицы.

Электрон в потенциальной яме кристалла.

В потенциальной яме (кристалл или атом) имеются граничные условия: электрон не может свободно покидать потенциальную яму. Если электрон находится в ограниченной области - любой потенциальной яме, то волновая функция Ψ(х) представляет стоячую волну. По своей форме волна будет такой же, как и в случае натянутой струны, однако природа волны - иная, а дискретным в этом случае будет не спектр частот, а спектрэнергий. Стоячие волны, описывающие электронные состояния в яме, - это синусоиды, обращающиеся в точках x = 0 и x = L в нуль. Волновую функцию такого электрона можно представить в следующем виде

Ψ(х) = √(2/L sin(πx n/L)),

где n – номер квантового состояния (n = 1, 2...), L – размер ямы (протяженность потенциальной ямы).

Рис. Монохроматическая плоская волна, модулированная потенциалом решетки.

Волновая функция на границах потенциальной ямы обращается в 0, обусловливая следующие разрешенные значения волнового вектора

k = 2 π/λ = n π/L.

Это условие выполняется, если на протяженности L укладывается целое число полуволн, т.е. L = (l/2) ∙ n.

Рис. Волновые функции электрона, находящегося в бесконечно глубокой

Дата добавления: 2015-07-15