Общие сведения об аппроксимации временных рядов с помощью аналитических функций

К числу важных задач анализа и моделирования основной закономерности (тенденции) изменения экономических показателей относится аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда путем его аппроксимации с помощью некоторой неслучайной функции времени (t). Термин «аппроксимация» происходит от латинского слова approximate – приближение, поэтому аппроксимация ряда динамики с использованием определенных функций предполагает приближенное описание (представление) уровней ряда посредством аналитических формул этих функций. В литературе плавную кривую (гладкую функцию), аппроксимирующую временной ряд, принято называть кривой роста.

Выравнивание обусловлено тем, что помимо главных факторов, которые формируют некоторую неслучайную функцию времени, на уровни ряда действует также значительное количество случайных факторов, порождающих случайные отклонения от систематических составляющих ряда. Из-за этого возникает проблема выделения постоянно действующих факторов, порождающих ту или иную тенденцию. В моделях, задаваемых на основе кривых роста, используется только один фактор – время (t).

При аналитическом выравнивании экономических временных рядов с применением кривых роста исходят из предположения о том, что аддитивная модель ряда (6.1) может быть представлена как сумма двух компонент:

где - некоторая неслучайная (систематическая) функция времени (t);

- случайная компонента с нулевой средней ( = 0) и постоянной дисперсией (); она выражает остаточное отклонение (ошибку) модели из-за действия случайных факторов.

Функция , описывающая структурную (детерминированную) составляющую временного ряда, задает тренд. Таким образом, тренд характеризует основную закономерность развития явления во времени. Но эта закономерность не полностью свободна от случайных воздействий (возмущений). По существу, тренд описывает тенденцию, усредненную для изучаемого ряда наблюдений, ее внешнее проявление. Здесь имеет место своеобразный абстрактный подход, согласно которому результат развития явления связан исключительно со временем, выражающим сконцентрированное влияние основных факторов. Заметим, что развитие явлений обусловлено не тем, сколько времени (лет, месяцев и т.п.) прошло с отправного момента, а тем, какие силы влияли на их развитие, в каком направлении и с какой интенсивностью. Развитие явлений во времени выступает как внешнее отражение этих сил, как суммарное действие, влияющее на изменение уровня в отдельно взятые моменты или промежутки времени.

Основная проблема при решении задачи аналитического сглаживания временных рядов – это выбор конкретной аналитической формулы функции , так как она во многом определяет результаты экстраполяции тренда.

В экономике чаще других применяются кривые роста следующего вида:

Параметры aj указанных функций экономически легко интерпретируются, что наряду с другими причинами обусловливает их практическую целесообразность.

В реальных исследованиях стремятся использовать функции (6.36) и (6.37), содержащие небольшое число параметров (аj), так как при значительном количестве этих параметров и недостаточном числе наблюдений уравнение тренда отражает случайные колебания, а не основную закономерность. В самом деле, при приближении количества параметров (аj) к числу наблюдений ряда задача сводится к построению кривой функции f(t), проходящей через все точки уровней ряда. Таким образом, основная цель решения задачи вырождается.

Вместе с тем необходимо учесть, что если аналитическая форма f(t) выбирается для интерполяции ряда, то стремятся к наибольшей близости расчетных значений уровней ряда к фактическим уровням. В случае экстраполяции цель сглаживания - выбрать такую форму f(t), которая задает основную закономерность развития явления. По отношению к этой закономерности выдвигается гипотеза, согласно которой она на определенное время сохранится в будущем.

В связи с этим в программном обеспечении аналитического выравнивания временных рядов большое внимание уделяется следующим конкретным формам функций (6.36) и (6.37):

Параметры перечисленных уравнений сравнительно легко могут быть определены методом наименьших квадратов.

Здесь а1, характеризует постоянный прирост в соответствующих единицах при начальном уровне а0. Если значениям факториального признака t, расположенным в порядке арифметической прогрессии, соответствуют постоянные приросты первых разностей результативного признака Y, это является достаточным условием для выбора в качестве функции полинома первой степени (6.38).

Когда значения t изменяются по закону арифметической прогрессии, а вторые разности соответствующих значений уровня ряда Y постоянны, то в качестве функции, описывающей тренд, используется парабола второго порядка (6.39). Характерной особенностью динамических процессов, выраженных параболой второго порядка, является равноускоренный рост или равноускоренное снижение уровня. При а2 > 0 ветви функции (6.39) направлены вверх, т.е. она имеет минимальное значение. Если а2 < 0, ветви направлены вниз, следовательно, парабола имеет максимум.

Параметр а1 интерпретируется как начальная скорость роста (постоянный прирост), а параметр а2 – как постоянная скорость изменения прироста (ускорение роста).

Наряду с другими функциями для аналитического выравнивания временных рядов в экономике используется уравнение экспоненты (6.40), которое отражает постоянный относительный рост уровней ряда, равный единицам.

Прологарифмировав уравнение (6.40), можно привести его к логарифмически-линейному виду:

Когда значениям t, образующим арифметическую прогрессию, соответствуют значения уровней ряда Y, подчиняющиеся закону геометрической прогрессии, уравнение тренда выражается показательной кривой (6.41). Данная функция характеризуется постоянными темпами роста и прироста. При а1 > 1 функция растет вместе с ростом t. Если же а1 < 1, то она падает. Прологарифмировав уравнение (6.41), получим выражение

В практике обработки временных рядов иногда можно наблюдать также линейную связь между логарифмами уровней ряда Y и соответствующими промежутками времени t. При такой связи для описания тренда рекомендуется использовать степенную функцию (6.42). Прологарифмировав данную функцию, получим выражение

Функция (6.43) по аналогии с трендом (6.40) описывает постоянный относительный рост, равный единицам. Прологарифмировав уравнение (6.43), его также можно привести к логарифмически-линейному виду:

Как показано в аддитивной модели временного ряда (6.1), в качестве ее закономерных составляющих могут выступать неслучайные функции Z(t) и S(t), описывающие периодические колебания долговременного характера и сезонного порядка. Поэтому, если уровни рада динамики изучаемых явлений подвержены гармоническим (периодическим) колебаниям, для моделирования процесса развития этих явлений во времени могут применяться ряды Фурье.

В данном случае f(t) представляют как непрерывную периодическую функцию с неизменным периодом Т= 2π / ω (ω – частота колебаний в радианах), имеющую конечное число максимумов и минимумов на каждом отрезке. При этом она может быть представлена по теореме Фурье в виде тригонометрической суммы или так называемого ряда Фурье функции f(t):

где а0, am, bm - коэффициенты Фурье (тригонометрического ряда);

m - порядок тригонометрического многочлена.

В практическом гармоническом анализе обычно полагают, что разлагаемая в ряд Фурье функция f(t) задана на интервале [0, 2π], чем максимально сокращают объем вычислительной работы. Коэффициенты Фурье для этой функции определяются по следующим формулам:

Однако коэффициенты Фурье в интегральной форме (6.50) и (6.51) не могут быть вычислены точно, так как в рассматриваемом случае f(t) задана не аналитически. Эти интегралы вычисляются с помощью одной из формул численного интегрирования, например по формуле прямоугольников:

где точки (i= 0, 1, 2,..., n) делят интервал интегрирования [α, β] на n равных частей.

Таким образом, чтобы применить эту формулу в реальных условиях, интервал [0, 2π] делят на n равных частей точками: t0=0; t1, t2..., ti..., tn-1, tn = 2 π,

где

Далее обозначают через y0,y1, y2..., yi..., yn-1, yn, значения f(t) в этих точках. Тогда, вычисляя интегралы (6.50) и (6.51) по формуле (6.52), получают такие приближенные выражения для коэффициентов Фурье функции f(t):

здесь m задает порядок тригонометрического ряда.

Дата добавления: 2015-07-15