Зразок розв’язку

Как Вам уже известно, если функция одной переменной непрерывна на некотором отрезке , то своего наибольшего (наименьшего) значения она может достигать или на концах промежутка, или в критических точках, которые принадлежат данному промежутку.

Тогда, по аналогии, если функция определена и непрерывна в области , то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения (т.н. глобальный экстремум) либо в критических точках, которые лежат внутри области, или в точках, лежащих на границе области.

Т. о. правило нахождения наибольшего и наименьшего значения дифференцируемой в области функция состоит в следующем:

1). Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них.

2). Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границах области.

3). Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее .

1 способ:

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области, ограниченной линиями.

Изобразим указанную область графически.

Найдем точки пересечения прямых. Граничные точки области:

, ,

Затем находим все критические точки функции. Для этого решим систему

Критическая точка лежит в указанной области. И значения фукнции в критической точке не принимается тогда в расчет.

Тогда перейдем к исследованию функции на границах области, которая состоит из:

- отрезка ; - отрезка ; - отрезка .

1) На участке ,

Выполним указанную подстановку и наша функция примет вид:

- функция одной переменной (своего наибольшего (наименьшего) значения она может достигать или на концах промежутка, или в критических точках, которые принадлежат данному промежутку). Найдем критические точки функции

, ,

Поэтому будем находить значения функции только на концах интервала.

.

2). На участке

Выполним указанную подстановку и наша функция примет вид:

Найдем критические точки.

, ,

Поэтому тоже будем находить значения функции только на концах интервала.

3). На участке ,

=

Найдем критические точки для функции

, ,

Т.о. - максимальное значение функции в указанной области

- минимальное значение функции в указанной области

Варіант	Функція	Область
		, ,
		, ,
		, ,
		, ,
		, ,
		, ,
		,
		,
		, ,
		, ,
Варіант	Функція	Область
		, ,
		, ,
		, ,
		, ,
		, ,
		,
		,
		,
		,
		,
		, ,
		,
		, ,
		, ,

Варіант	Функція	Область
		, ,
		, ,
		,
		,
		, ,
		, ,

Задача 14. Розв’язати задачу.

1. Знайти прямокутник периметра , який має найбільшу площу.

2. З усіх трикутників периметра знайти той, який має найбільшу площу (використати формулу для площі трикутника за його сторонами).

3. Знайти таку точку рівнобедреного прямокутного трикутника, для якої сума квадратів відстаней до його вершин буде найменшою.

4. Знайти точку трикутника , , сума квадратів відстаней якої до його вершин має найбільше значення.

5. Знайти точку чотирикутника , , , сума квадратів відстаней якої до його вершин має найменше значення.

6. З шматка дроту довжиною зробити каркас прямокутного паралелепіпеда з найбільшим об’ємом.

7. Визначити розмір відкритого прямокутного ящика з даним об’ємом і з найменшою поверхнею.

8. З усіх прямокутних паралелепіпедів, що мають даний об’єм , знайти той, повна поверхня якого найменша.

9. Дане додатне число розкласти на три додатні доданки x, y, z так, щоб добуток xyz був найбільшим.

10. З усіх прямокутних паралелепіпедів, що мають дану поверхню , знайти той, об’єм якого найбільший.

11. На площині знайти точку сума квадратів відстаней якої від трьох прямих: , , є найменшою.

12. З усіх трикутників даного периметру знайти той, який при обертанні навколо однієї із своїх сторін утворює тіло найбільшого об’єму.

13. На площині задані три матеріальні точки , , з масами , , відповідно. Де повинна бути розташована точка , щоб момент інерції даної системи відносно точки був найменшим (тобто сума повинна бути найменшою)?

14. Через точку провести площину, яка утворює з площинами координат піраміду найменшого об’єму.

15. Знайти найкоротшу відстань від точки до прямої .

16. На площині знайти точку, сума квадратів відстаней якої від площин і була б найменшою.

17. На площині знайти точку, сума квадратів відстаней якої від точок і була б найменшою.

18. У півкулю радіуса вписати прямокутний паралелепіпед найбільшого об’єму.

19. З усіх прямокутних паралелепіпедів, що мають задану суму трьох вимірів , знайти той, об’єм якого найбільший.

20. За яких умов сума трьох додатних доданків , , найменша, якщо їх добуток ?

21. Визначити розміри циліндра найбільшого об’єму за умови, що його повна поверхня дорівнює .

22. Визначити розміри конуса найбільшого об’єму за умови, що його бічна поверхня дорівнює .

23. Визначити розміри прямокутного басейна так, щоб при заданій площі його поверхні об’єм був найбільшим.

24. Знайти найбільший об’єм прямокутного паралелепіпеда при заданій сумі усіх його ребер.

25. Знайти найбільший об’єм прямокутного паралелепіпеда за умови, що довжина його діагоналі дорівнює а.

26. На параболі у = 4 х ² знайти точку, відстань якої до прямої х – у + 4 = 0 найменша.

27. Канал, який проводить воду до турбіни, має в перерізі форму рівнобічної трапеції, площа якої дорівнює . Визначити глибину каналу і гострий кут трапеції за умови, що периметр води в каналі буде найменшим.

28. На поверхні знайти точку за умови, щоб об’єм піраміди був найбільшим, якщо вершини піраміди розташовані в точках , , .

29. Задано точки , , . На поверхні знайти точку за умови, щоб об’єм піраміди був найменшим.

30. Визначити розміри циліндра найбільшого об’єму за умови, що його повна поверхня дорівнює .

Дата добавления: 2015-07-15