Глава вторая. Определение Хаоса и его признаки

Под Хаосом с научной точки зрения подразумевается эффект непредсказуемости

наблюдающийся в сложных нелинейных динамических системах. Нелинейной называется

система очень чуткая к слабым воздействиям, ибо их отклик непропорционален силе

«возмущающего» воздействия, а часто и вообще непредсказуем. В 60-е годы прошлого века

учёные столкнулись с невозможностью точного предсказания поведения сложных

нелинейных динамических систем даже с использованием точной электронно-

вычислительной техники, и с тех пор сами нелинейные динамические системы стали

объектом изучения учёных, пытающихся постичь природу Хаоса.

Одна из таких систем, а именно метеорология, послужила сферой, в которой Эдвард

Лоренц обнаружил фактор непредсказуемости, который выразился в крайней

чувствительности системы к начальным внешним условиям. Когда его ЭВМ округлила

данные до тысячных долей процента, то предсказание погоды стало кардинально иным.

Учёный выделил три условия, характеризующих Хаос:

1. Чувствительность к начальным условиям;

2. Наличие топологического смешивания (наложение графиков) вследствие рекурсии;

3. Плотность периодических орбит.

В начале 70-х эффект Хаоса был зарегистрирован также и в области популяционной

генетики австралийским учёным Робертом Мэйем, который указывал, что малейшие

изменения коэффициентов воспроизводства приводят к скачкообразным изменениям в

численности популяции. Аналогичные вычисления проводил ранее бельгийский математик

Ферхюльст.

Необходимо заметить, что пионером изучения данного явления был французский физик

Анри Пуанкаре. Именно он в 80-е годы XIX века, изучая поведение трёх объектов в

гравитационном поле, обнаружил наличие непериодических орбит, которые тяготеют к

конкретной точке фазового пространства. Подобные точки в последствии стали именоваться

АТТРАКТОРАМИ («притягивающими»). Они представляют точки фазового пространства

динамической системы, к которым она стремиться с течением времени. Несмотря на то, что

орбиты были непериодическими, то есть непостоянными, всё же было нечто организующее, а

именно аттракторная область. Наличие точек такой области, я бы определил как первый

признак Хаоса, отличающее Его от хаотического броуновского движения материи, которое

подобных точек не имеет.

Пример №1: маятник в состоянии покоя будет являть собой точку аттрактора, а график

в форме замкнутой кривой за один период будет называться орбитой аттрактора.

Множество точек на этой кривой будет называться аттракторной областью.

В двухмерной модели маятника невозможно представить его хаотического поведения.

Согласно теореме Пуанкаре-Бендиксона непрерывная динамическая система на

плоскости не может быть хаотической, т.к. двумерное дифференциальное уравнение

имеет очень стабильное поведение.

Теперь представим, что маятник толкнули не только в по координатам X и У, но и Z.

Это приведёт к тому, что траектория в трёхмерном пространстве будет выглядеть как

эллипс или «восьмёрка». В случае эллиптической орбиты наблюдатель двухмерной

проекции будет видеть временное замедление в точке аттрактора, а в случае

«восьмёрки» временное замедление по краям аттрактивной области. С точки зрения

двухмерной проекции поведение маятника будет условно хаотичным, хотя в реальной

трёхмерной модели оно таковым не будет.

Если же с одного края аттрактивной области маятник станет закручиваться под

действием возникших там вихревых процессов, то аттрактор начнёт перемещаться из-

за скручивания оси маятника. Но в двухмерной проекции понятие вихревых

процессов отсутствует в принципе, и смещение аттрактора приведёт к оценке его как

«странного».

СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ в сложных динамических системах нестабильны,

двигаются и исчезают, так как имеют не одну, а несколько точек к которым они стремятся с

течением времени. Именно такие аттракторы являются признаком наличия Хаоса в

динамической системе.

Несмотря на то, что проявления Хаоса ограничены аттракторами, внутри

аттрактивной области наблюдаются вспышки активности. По неизвестным причинам Хаос

как бы «вскипает», развивается. По мнению автора данной теории (СПТХ), это происходит

потому, что странные аттракторы являются вестниками воздействия на наблюдаемую

систему нефиксируемых измерений, так как это показано на примере №1. То есть странные

аттракторы трёхмерных моделей могут быть следствием воздействия на точку не

установленных, не принятых в расчёт факторов, и в т.ч. измерений, подобно тому, как фактор

трёхмерной турбулентности, не мог быть описан в двухмерной системе координат.

Если первым свойством Хаоса я обозначил его поведение в системе координат, то

вторым признаком Хаоса я бы обозначил основное свойство его внутренней структуры, а

именно самоподобие.

Фигура обладает свойством самоподобия, когда части математической

последовательности этой фигуры подобны всей этой последовательности целиком. Любая же

часть, подобная самой крупной размерности, называется ФРАКТАЛОМ.

Первые фрактальные фигуры были описаны немецким учёным Георгом Кантором и

шведским учёным Хельге фон Кохом. Первое фрактальное уравнение создал французский

учёный Гастон Жулиа, методом постановки правой части уравнения на место переменной,

находящейся в левой части уравнения. Эта математическая операция проделанная несколько

раз могла быть выражена геометрически в виде фрактальных линий. В дальнейшем

талантливый еврейский учёный Бенуа Мандельброт, благодаря тому что работал в IBM —

передовой кампании вычислительной техники своего времени, применил принципы Жулиа

«во вселенной больших чисел», что показало огромный потенциал фрактальной геометрии в

вопросах понимания глубинной основы мироздания. Оказалось, что геометрия прямых

линий и привычных фигур не отражает в полной мере закономерноти построения материи,

точно также как неполной оказалась и Ньютоновская школа, пытающаяся представить

мироздание как некий механизм, построенный на принципах Порядка.

Практическое применение фрактальной геометрии не заставило себя долго ждать.

Английский учёный Льюис Ричардсон применил фрактальные вычисления к измерению

береговой линиии британского острова, что дало более точные результаты измерений, — чем

меньше линейка, тем точнее измерения. По мере развития хаотических идей, фрактальные

уравнения заложили основу реалистичной компьютерной графики. Голдбергер установил что

ритмы сердца имеют фрактальную природу, то есть малые отрезки кардиограммы подобны

циклам большей размерности сердечного ритма, Тейлор определил фрактальную природу

движения глаз, Бёрнс успешно использовал фрактальне принципы в ранней диагностике

рака.

Фрактальные фигуры Хаоса обнаружили свой неисчерпаемый потенциал. Мало кто

знает, что носит Хаос в своём кармане: в каждом сотовом телефоне находится

широкополосная фрактальная антена, которая при малом размере очень чувствительна к

сигналам широкого диапазона. Хаос повсюду. Оказывается, фрактальные принципы

отражены в построении кровеносной и нервной системы, в ветвлении растений. Везде где мы

видим, казалось бы, беспорядочное нагромождение форм живой природы, мы, на самом деле

наблюдаем Хаос, как некую высокоорганизованную формацию. Как вам тот факт, что

количество больших и малых деревьев в лесу соответствует количеству больших и малых

веток на каждом из деревьев?

(рис.1,2) 3D-фрактальные фигуры

Конечно, Хаос никому ничего не должен, но как раз в силу того, что он обладает

независимым характером, любая его часть взаимозаменяема. Нелинейный характер Хаоса

состоит в том, что он не имеет иерархически более значимых частей, исключив которые, мы

повлияем на его свойства в целом. Другими словами, проявление Хаоса должно состоять из

фрактальных уравнений, каждое из которых должно быть подобно общему

дифференциальному уравнению. Применительно к геометрической форме фигура Хаоса

должна состоять из фракталов – фигур, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

(рис.3) Фрактальные фигуры (двухмерные)

ФРАКТАЛ – по сути, является ничем иным, как зерном Хаоса, из которого развивается

общая последовательность. В более широком смысле под фракталами понимают множества

точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле

Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую

топологической, то есть Хаос разделён на «фразы», обусловленные аттракторами. А

аттракторы, по моему мнению, несут организующую функцию «осей координат», которые

являют собой алгоритмы поведения Хаоса.

(рис.4) Фрактальная линия.

Пример №2. Простейший пример. В случае с

биллиардным столом, аттракторной областью будет

прямоугольник стола, где катаются биллиардные шары.

Независимо от масштаба стола его прямоугольник будет

содержать в себе ту же сумму алгоритмов движения

шаров, т.е. алгоритмы движения шаров в прямоугольнике

будут подобны сумме алгоритмов в прямоугольнике

другого масштаба. В этом случае фракталом будет

прямоугольник.

Дата добавления: 2015-07-15