Порядок построения точки пересечения прямой и плоскости

1. Заключим прямую а во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость (плоскость перпендикулярную фронтальной плоскости проекции). На фронтальной проекции она сольется с прямой а. Очевидно, что линия m пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника АВС на фронтальной проекции так же будет сливаться с прямой а (а = m).
2. Определим фронтальные проекции двух точек этой линии m: точки 1 и 2.
3. Найдем их горизонтальные проекции.
4. Соединим горизонтальные проекции точек 1 и 2 - получим горизонтальную проекцию прямой m (которая является линией пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью треугольника АВС, и соответственно принадлежит обеим плоскостям). Так как прямая а принадлежит вспомогательной плоскости, и прямая m принадлежит ей же, то точка пересечения этих прямых К и есть точка пересечения прямой а с плоскостью треугольника АВС.
5. С помощью линии связи найдем фронтальную проекцию точки пересечения К.
6. Осталось только определить видимость прямой а. Это можно сделать с помощью метода конкурирующих точек.

Обратите внимание, что мы начали поиск точки пересечения прямой с плоскостью с того, что заключили прямую а во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость. Точно таким же образом можно было заключить прямую а в горизонтально-проецирующую плоскость, и тогда бы построения начались как бы "снизу вверх", но смысл остался бы точно таким же, как и конечное решение - точка пересечения прямой с плоскостью.

Как определить натуральную величину отрезка?

Сегодня мы рассмотрим один из самых простых элементов теории, но важность его такова, что без него решение большинства задач по начертательной геометрии не представляется возможным. Если вы не знаете, как определить натуральную величину отрезка, то вы никогда не сможете доказать преподавателю, что решили задачи самостоятельно. Задача на определение натуральной величины отрезка в начертательной геометрии встречается как сама по себе, так и в качестве вспомогательных построений при решении сложных комплексных задач. В любом случае, каждый студент, который планирует получить зачет\экзамен по начерталке, обязан уметь определить натуральную величину отрезка, причем быстро и без заминок.

Имея две проекции прямой частного положения мы всегда можем определить натуральную величину любого отрезка отложенного на этой прямой. Для этого используется метод прямоугольного треугольника. На рисунке в начале статьи мы определили натуральную величину отрезка АВ построив прямоугольный треугольник на горизонтальной плоскости проекции, но вы должны знать, что построить прямоугольный треугольник мы можем как на горизонтальной, так и на фронтальной плоскостях. Это показано на анимированном рисунке ниже - на нем мы сначала определили натуральную величину АВ на горизонтальной плоскости проекции, а затем на фронтальной.

Коротко же алгоритм определения натуральной величины отрезка сводится следующему: на любой проекции через любую из конечных точек отрезка проводят перпендикулярную прямую, и на ней откладывают расстояние, равное разнице значений по оси ординат этих двух точек на противоположной плоскости проекций. Т.е. если треугольник строим на горизонтальной плоскости, то разницу значений ищем на фронтальной, и наоборот. Если что-то непонятно из этого описания, то рассмотрев внимательно рисунок вы окончательно поймете, что имелось ввиду.

Как видите, ничего особо сложного в этом приеме нет, но знать его очень важно, и не менее важно уметь его применить, как минимум до получения зачета по начертательной геометрии и инженерной графике:)

Особым случаем этой задачи является определение натуральной величины отрезка лежащего в частном положении - например параллельно горизонтальной плоскости проекции. Тогда на его горизонтальная проекция будет сама по себе натуральной величиной и никаких дополнительных построений для ее определения не требуется:

Построение линии пересечения двух плоскостей.

Одной из основополагающих задач начертательной геометрии является задача на на построение линии пересечения двух плоскостей общего положения. Случаи задания плоскостей бывают разные, но в любом случае вам встретится задача, в которой будет необходимо построить линию пересечения двух плоскостей заданных треугольниками (или другими плоскими геометрическими фигурами). Алгоритм решения такой задачи я и предлагаю рассмотреть сейчас.

Итак, даны две плоскости, заданные треугольниками АВС и DEF. Метод сводится к тому, что бы поочередно найти две точки пересечения двух ребер одного треугольника с плоскостью другого. Соединив эти точки мы получим линию пересечения двух плоскостей. Построение точки пересечения прямой с плоскостью более подробно было рассмотрено в предыдущем уроке, напомню только механические действия:

- Заключим прямую АС во фронтально-проецирующую плоскость и перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения этой плоскости с прямыми DE и DF - точки 1 и 2
- На горизонтальной проекции соединим проекции точек 1 и 2 и найдем точку пересечения получившейся линии с горизонтальной проекцией той прямой, которую мы заключали во фронтально-проецирующую плоскость, в этом случае - с прямой AC. Мы получили точку M.
- Заключим прямую BС во фронтально-проецирующую плоскость и перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения этой плоскости с прямыми EF и DF - точки 3 и 4
Соединим их горизонтальные проекции и получим точку пересечения этой прямой с прямой ВС - точку N.
- Соединив точки M и N мы получим линию пересечения плоскостей заданных треугольниками. По сути линия пересечения уже найдена. - Осталось лишь определить видимость ребер треугольников. Это делается методом конкурирующих точек.

При помощи наиболее внимательных посетителей сайта удалось найти неточность при определении видимости плоскостей. Ниже приведен чертеж, на котором исправлена видимость линий, ограничивающих плоскости на горизонтальной плоскости проекций:

Построение линии пересечения конуса и плоскости

Вслед за уроком, в котором я рассказывал вам, какпостроить линию пересечения цилиндра с наклонной плоскостью, пришло время опубликовать статью о построении линии пересечения конуса и наклонной плоскости. Умение построить линию пересечения конуса с плоскостью может пригодится вам при построении натурального вида фигуры сечения или же просто, при решении простой задачи о сечении конуса. В любом случае, в курсе инженерной графики вы как минимум раз с этим столкнетесь. Так пусть же это столкновение пройдет для вас менее болезненно. В противном случае, пишите, звоните, будем договариваться:)

Итак, приступим. На рисунке ниже вы видите среднестатистический чертеж в том виде, в котором вы получаете задание на сечение конуса плоскостью. С той лишь поправкой, что обычно на нем не изображен третий вид. Его я начертил заранее, подготовив для будущих построений.

Первым делом обозначим точки, в которых плоскость пересекает образующие конуса на фронтальной проекции. Снесем их на горизонтальную проекцию до пересечения с осью, а так же на профильную проекцию - так же до пересечения с осью. Отмечу, что точка 2'' будет невидимой (на рисунке это явно не указано).

Пришло время сказать кое-какие важные вещи, касаемые того, какие бывают типы сечений конуса. Их четыре:

• Рассечь конус можно параллельно основанию, тогда при взгдяде на сечение мы увидим круг.
• Второй случай - параллельно оси конуса. В сечении получим гиперболу.
• Третий случай - параллельно образующей конуса. В сечении будет парабола.
• Четвертый случай, он же крайний - как раз наш пример, секущая плоскость наклонена под произвольным углом и не совпадает с первыми тремя частными случаями сечений. И вот в этом, четвертом случае, в сечении будет элипс.

Но если про элипс в сечении вы скорее всего знали, или догадывались, то вот насчет его центра очень многие ошибаются. Хотя казалось бы, поиск центра элипса в нашем случае не должен доставлять хлопот. Внимательно читаем и запоминаем: центр элипса в данном случае находится ровно посередине между точками 1 и 2. Поскольку 1-2 является одной из осей элипса. Большой или малой - зависит от наклона секущей плоскости и практического значения для нас сейчас не имеет.
Продолжим построения. Проведем через ту самую середину отрезка 1-2 вспомогательную секущую плоскость Q1. Как мы уже знаем, она как раз дает в сечении окружность при виде сверху. Обозначим ее:

Обозначим точки пересечения этой вспомогательной плоскости Q1 с проекцией наклонной плоскости Pv на фронтальной проекци, получим точки 3' и 4'. Из них опускаем линию связи вниз, до пересечения с окружностью, получаем точки 3 и 4. Отрезок 3-4 является второй осью элипса.

Чтобы построить профильные проекции этих точек, проводим из проекции точек 3' и 4' линию связи вправо, на профильную проекцию. И затем, на ней откладываем от оси конуса отрезки, обозначенные синим и зеленым цветом. Такой же длины, как синий и зеленые отрезки обозначенные на виде сверху (на горизонтальной проекции). Получаем точки 3" и 4".

Математически на основе знаний о двух осях мы могли бы построить элипсы на горизонтальной и профильной проекциях. Но поскольку нам не удастся убедить преподавателя, что мы роботы, способные построить элипс опираясь только на 4 точки, мы вынуждены построить несколько дополнительных точек. На рисунке, изображающем 6-й шаг построения мы провели вспомогательную секущую плоскость Q2, в произвольном месте, где-то посередине между центром элипса и точкой 2'. C ее помощью (ориентируясь на алгоритм описанный при построении точек 3 и 4) определили все проекции точек 5 и 6.

Точно так же проводим вспомогательную плоскость Q3 ниже точки 3' и выше точки 1' и с ее помощью находим все проекции точек 7 и 8. Теперь у нас уже есть 8 точек, чего вполне достаточно для более-менее точного построения от руки элипса не очень больших размеров. Если же у вас конус большой, то возможно вам имеет смысл провести еще некоторое количество вспомогательных секущих плоскостей и построить дополнительные точки.

Остался еще один важный момент - определение точек границ видимости элипса на третьем виде. Для этого надо провести из точки пересечения плоскости Pv с осью элипса линию связи направо, на профильную проекцию. В местах, где эта диния пересекается с образующими конуса как раз и будут искомые точки. На чертеже я их никак не обозвал, вы же можете дать им имена 9" и 10". Та часть элипса, что будет за ними, будет находиться за конусом и соответственно будет невидидима.

Проведем элипсы через полученные точки на горизонтальной и профильных проекциях:

Последним этапом, завершающим построение линии пеерсечения Конуса с наклонной плоскостью, будет обозначение видимости элипса на профильной проекции:

На этом месте я объявляю перерыв, и мне лишь остается выразить надежду, что этот урок принес вам реальную пользу при решении своих домашних заданий. Лишь бы было у вас время прочесть весь этот материал и внимательно рассмотреть сопровождающие его рисунки. В блишайшем уроке я планирую рассмотреть выполнение задания по нахождению натуральной величины сечения, так что велкам снова:)

Дата добавления: 2015-07-15