Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Функциональные ряды. 1. Ряды Тейлора и Макларена.

Читайте также:
  1. БАЗОВЫЕ ОБЩЕФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ НАВЫКИ
  2. Глава 9. МОРФОФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМЫ ПИЩЕВАРЕНИЯ РЫБ
  3. Линейно-функциональные структуры
  4. Морфофункциональные особенности сердечной мышцы
  5. Морфофункциональные преобразования в полости рта
  6. Морфофункциональные преобразования пищевода и желудка
  7. Определить функциональные группы помещений предприятия, дать их характеристику, состав, составить схему взаимосвязи групп помещений.

1. Ряды Тейлора и Макларена.

Опр. Рядом Тейлора, порожденном функцией f(x) в точке x0 называется степень ряда an=fn(x0)/n!

Если этот ряд с центром в 0, то ряд Тейлора называется рядом Макларена.

Пусть функция в интервале является суммой степенного ряда (30.1):

(30.5)

Найдем коэффициенты этого ряда. Продифференцируем последовательно тождество (30.5) и подставим в него x=x0

Отсюда находим коэффициенты:

Подставляя их в (30.5), имеем

(30.6)

Полученный ряд называется рядом Тейлора для функции f(x),а в частном случае при x0= 0 — рядом Маклорена:

(30.7)

Таким образом, если функция f(x) разлагается по степеням (x-x0) то этот ряд называется рядом Тейлора и f(x) бесконечно дифференцируема в т. (x-x0)

 

Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд.

 

2. Единственность разложения в степенной ряд.

Ф-я единственным образом раскладывается в степенной ряд. док-во:

Пусть . , . и т.д. .

 

3. Разложение элементарных функций

ex=1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+…

e-x =1-x+x2/2!-x3/3!+…(-1n)xn/n!+…

cosx=1-x2/2!+x4/4!-x6/6!+…+(-1n)x2n/2n!+…

sinx=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+…+(-1n)x2n+1/(2n+1)!+…

chx=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…+x2n/2n!+…

shx=x+x3/3!+x5/5!+x7/7!+…+x2n+1/(2n+1)!+…

lnx=x-x2/2+x3/3-x4/4+…+(-1n)xn+1/(n+1)+…

(1+x)m=1+mx+m(m-1)x2/2!+…+(m(m-1)…(m-n+1)xn)/n!+…

 

5. Тригонометрические ряды Фурье. Пусть отрезок имеет длину 2l. Для определенности, пусть это отрезок [-l,l].

Рассмотрим следующую систему функций: .

Теорема. Рассматриваемая система функций является ортогональной.

Доказательство. Требуется доказать, что при n≠ m, n,m= 0,1,… и что при всех n,m, n=0,1… m= 1,2…

Проверим первое из этих равенств. Остальные получаются совершенно аналогично.

т.к. sinπk=0 при k из Z.

Замечание. Легко вычислить, что на (-l,l) . Например, .

Предположим теперь, что f(x) определена на (-l,l) и периодически продолжена на всю числовую ось. Сопоставим ей ряд Фурье по тригонометрической системе: , где .

(Важнейший частный случай: l=π, тогда тригонометрическая система имеет вид

1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx. Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам и ряд Фурье, соответствующий f(x), есть

 

Принцип локализации. Взяв произвольное положительное число δ<π, разобьем интеграл

sn(x0)= 0+t)+f(x0-t)] на два: Если второй из них переписать в виде:

то станет ясно, что множитель при синусе является абсолютно интегрируемой функцией от t в промежутке [δ,π], т.к. знаменатель в этом промежутке в ноль не обращается. В таком случае по лемме этот интеграл при n→∞ стремиться к нулю, так что и само существование предела для частичной суммы ряда Фурье, sn(x0), и величина этого предела целиком определяются поведением одного лишь интеграла:

pn(π)= 0+t)+f(x0-t)] Но в этот интеграл входят лишь значения функции f(x), отвечающие изменению аргумента в промежутке от x0-δ до x0+δ. Этим доказывается принцип локализации состоящий в следующем: Теорема Римана. Поведение Ряда Фурье функции f(x) в некоторой точке x0 зависит исключительно от значений, принимаемых функцией в непосредственной близости рассматриваемой точки, т.е. в сколь угодно малой ее окрестности.

 

 

6. Признак Жордана-Дирихле.

Ряд Фурье функции f(x) в точке x0 сходится к сумме S0, если в некотором промежутке [x0-h, x0+h] с центром в этой точке функция имеет ограниченное изменение. Поведение частичной суммы sn(x0) при n→∞ определяется поведением интеграла pn(δ), где за δ можно взять число h. Перепишем pn(h) в виде:

pn(h)= 0+t)+f(x0-t)] ·

Сумма в квадратных скобках, по предположению, есть функция с ограниченным изменением; частное представляет собой возрастающую функцию. Таким образом произведение их имеет ограниченное изменение и, следовательно, представляется в виде разности двух монотонно возрастающих функций. По лемме: Если функция g(x) монотонно возрастает, оставаясь ограниченной, в промежутке [0,h], где h>0, то

мы сразу получаем, что

(h)= · [f(x0+0)+f(x0-0)]=

Этим все доказано, т.к. в точке непрерывности полученное выражение само собою обращается в f(x0).

Признак Дирихле. Если функция f(x) периода 2 кусочно-монотонна в промежутке [- , ] и имеет в нем не более, чем конечное число точек разрыва, то ее ряд Фурье сходится к сумме f(x0) в каждой точке непрерывности и к сумме в каждой точке разрыва.

 

 

9. Неравенство Бесселя.

Неравенство для коэффициентов ряда Фурье по произвольной ортонормированной системе функций jk (x) (k = 1, 2...), т.е. системе, определённой на некотором отрезке [а, b] и удовлетворяющей условиям (k1 l) k2(x)dx=1, k(x)φi(x)dx = 0

Если функция f (x) измерима на отрезке [ а, b ], а функция f2(x) интегрируема на этом отрезке и

kφk(x)

— ряд Фурье f (x) по системе jk (x), то справедливо н. Б. k 2(x)dx

 

10. Равенство Парсеваля.

Пусть дано гильбертово пространство(H,<·,·>), где <·,·> - скалярное произведение, определённое на множестве H. Обозначим ||x||=√<x,x> индуцированную этим скалярным произведением норму. Тогда если {ek}k=1 - ортонормированный базис в H, то

||x||2= k> |2

 

Представим функции f (x) и g (x) в виде их разложений в обобщенные ряды Фурье по полному набору функций φn(x), ортогональных на промежутке (a, b):

f(x)= kφk(x) (1), g(x)= nφn(x) (2),

где fn и gn – соответствующие коэффициенты Фурье:

fn=1/||φn||2 *n(x)f(x)dx (3), gn=1/||φn||2 *n(x)g(x)dx (4),

Тогда скалярное произведение функций f (x) и g (x) на промежутке (a, b) можно представить в виде:

Учитывая условие ортогональности

и свойство

дельта-символа Кронекера, получаем следующее равенство:

Если функции нормированы на единицу на промежутке (a, b), то

В частном случае, когда g (x) = f (x), из формулы (9) вытекает равенство Парсеваля:

 

11. Теорема о единственности ряда Фурье непрерывной функции. В пространстве С(-π,π)

Всякая функция φ(x), непрерывная на отрезке [-π,π] и удовлетворяющая условию φ(-π)=φ(π), есть предел равномерно сходящейся последовательности средних арифметических частичных сумм своего ряда Фурье.

В пространстве L1(-π,π). Если все коэффициенты Фурье суммируемой функции φ(x) равны нулю, то сама функция φ(x) = 0(почти всюду). Из условия теоремы следует, что все члены ряда Фурье функции φ(x)=0; но тогда все sn(x) равны нулю, все σn(x) равны нулю и по норме L1

φ(x)= n(x)=0.

Другим выражением того же св-ва служит утверждение: Если у двух интегрируемых функций φ(x) и ψ(х) все коэффициенты Фурье соответственно совпадают, то φ(x) почти всюду почти совпадает с ψ(х).

Для док-ва достаточно образовать разность f(x)= φ(x) - ψ(х); все коэффициенты Фурье по условию равны нулю, отсюда f(x) равна нулю почти всюду.


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 73 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Шаг 2: готовим украшение для декора ручек свадебной машины| В 1. Понятие функции, структура и средства общения.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.013 сек.)