Случай в

Решение алгебраического уравнения 3-й степени

1.Численное решение

Общий вид полного уравнения 3-й степени

Подстановкой уравнение приводится к виду, не содержащему квадрата неизвестного,

;

при этом, если:

, то уравнение имеет один вещественный и двамнимых сопряженных корня;

, то все корни вещественные и различные;

, все корни вещественные и среди них есть кратный.

Решение уравнения разбивается на три случая.

Случай а

; корни найдутся по формуле

,

где k= 0,1,2, а , и, следовательно,

.

Случай б

и ; корни будут

; ,

где , а .

Случай в

и ; значения корней будут

;

где ; .

Пример 1. Найти корни уравнения . Полагая приводим уравнение к виду , имеющему три вещественных корня:

; ;

;

; ;

;

; ; ;

; ; ;

; ; .

Пример 2. Решить уравнение: .

; ; ;

; ; ;

;

;

; .

2. Формула Кардана

В алгебраической форме решение кубического уравнения, предложенное Карданом, имеет вид

.

Так как каждый из кубических радикалов имеет три значения, то вообще для получается девять различных значений; из них надлежит выбрать лишь те, произведение которых равно .

3. Номограмма для отыскания вещественных корней

уравнения вида .

При расчете тонких пластин конечной жесткости приближенным методом приходится находить вещественные корни уравнения вида . Для нахождения этих корней удобно воспользоваться номограммой, приведен­ной на рис. 1.

Соединяя линейкой точки, отвечающие данным значениям А и В на соот­ветствующих шкалах, находим положительные корни уравнения на шкале и или в зависимости от того, какими из отметок (a, b или с) на шкале В мы пользуемся. Соединяя точки, соответствующие значениям А и В с об­ратными знаками, находим абсолютные значения отрицательных корней.

Ниже приводятся примеры пользования номограммой.

Пример 1. . Соединяя 5 и - 7, находим на шкале . Соединяя - 5 и +7, на той же шкале находим и .

Пример 2. . Один вещественный корень на шкале .

Увеличивая (или уменьшая) A в 10 раз, следует увеличить (уменьшить) В в 1000 раз, а взять в 10 раз меньше (больше) его значения по соответ­ствующей шкале.

Пример 3. . Один вещественный корень .

Пример 4. . Один вещественный корень .

Рис.1

Дата добавления: 2015-07-15