Корреляционный анализ.

Цель работы. Ознакомление с методом корреляционного анализа результатов экспериментальных исследований.

Содержание работы. При проведении экспериментальных исследований могут решаться следующие задачи:

· Выявление качественно-количественных закономерностей, устанавливающих отношения между переменными, которые описывают объект исследований в статическом (установившемся) режиме;

· Нахождение значения переменных, обеспечивающих оптимальный по определенному критерию установившейся режим функционирования объекта.

Для решения поставленных задач разработаны разнообразные методы обработки результатов исследований.

Известно, что две случайные величины X и Y могут быть связаны функциональной или статистической зависимостями. В последнем случае изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, если статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, то она называется корреляционной (от лат. – взаимосвязь, взаимозависимость). Во многих задачах требуется не только установить зависимость изучаемой величины Y от одной или нескольких других случайных величин, но и оценить тесноту этой зависимости.

1). Простая корреляция. Пусть изучается зависимость одной физической величины Y от другой X. В результате независимых опытов получены N пар чисел (). Эти данные позволяют оценить тесноту линейной связи между величинами X и Y. При этом приближенная зависимость может быть представлена в виде

, (1)

где - математические ожидания величин X и Y соответственно;

- средние квадратические отклонения этих величин;

- коэффициент корреляции,

; (2)

- корреляционный момент случайных величин X и Y.

Величина называется остаточной дисперсией случайной величины Y относительно X. Она характеризует величину ошибки, которая получается при аппроксимации (замене) зависимости линейной функцией вида (1):

· при коэффициенте корреляции остаточная дисперсия равна нулю, что свидетельствует о наличии функциональной зависимости между Y и X;

· при линейная связь между величинами Y и X отсутствует.

Таким образом, величина коэффициента корреляции , лежащая в пределах может служить характеристикой тесноты линейной связи между X и Y: чем ближе величина по абсолютному значению к единице, тем эта связь теснее.

Для оценки тесноты линейной связи могут также использоваться коэффициенты и уравнения (1), найденные по способу наименьших квадратов, так как . Заметим, что коэффициент иногда называют коэффициентом регрессии, а прямую (1) – прямой среднеквадратической регрессии Y на X.

В случае необходимости определения тесноты нелинейной связи между случайными величинами X и Y вводится новая характеристика, называемая корреляционным отношением , под которым понимают отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению случайной величины Y. Заметим, что под группой могут пониматься и результаты параллельных опытов при Таким образом, корреляционное отношение Y и X

. (3)

Если , то и средние значения Y при любых Х сохраняют постоянное значение, равное общему среднему. Следовательно, величины X и Y корреляционной зависимостью не связаны. Если , то и, следовательно, величины X и Y связаны функциональной зависимостью. Таким образом, корреляционное отношение удовлетворяет неравенству .

Заметим, что всегда больше или равно величине коэффициента корреляции . При = имеет место линейная корреляционная зависимость.

2). Множественная корреляция. Если исследуется связь между несколькими случайными величинами, то корреляцию называют множественной.

В простейшем случае число случайных величин равно трем , и связаны они линейной зависимостью:

(4)

Здесь - коэффициенты, найденные по способу наименьших квадратов.

Теснота линейной связи между Y и , при и между Y и , при оцениваются частными коэффициентами корреляции:

, (5)

. (6)

Здесь коэффициенты корреляции, входящие в правые части выражений (5), (6), определяются по формулам аналогичным (2).

Частные коэффициенты корреляции (5),(6) имеют те же свойства и тот же смысл, что и обыкновенный коэффициент корреляции (2), т.е. служат для оценки линейной связи между случайными величинами.

Теснота связи случайной величины Y с величинами и оценивается совокупным коэффициентом корреляции R, определяемым по формуле:

, (7)

причем ; при R=0 связь отсутствует; при R=1 имеет место функциональная зависимость вида (4).

Коэффициенты регрессии уравнения (4) однозначно связаны с коэффициентами корреляции следующими соотношениями:

;

.

Здесь - средние квадратические отклонения соответствующих случайных величин;

- математические ожидания этих величин.

Приведенные соотношения позволяют при известных коэффициентах регрессии , найденных по методу наименьших квадратов, и числовых характеристиках каждой случайной величины найти коэффициенты корреляции между парами случайных величин , а затем, пользуясь формулами (5)-(7) оценить частную и совокупную тесноту связи между исследуемыми случайными величинами .

Дата добавления: 2015-07-15