Прямая линия на плоскости

Способы задания прямой

I. По направляющему вектору и точке

Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Пусть дан аффинный репер и , .

Рассмотрим . Пусть . Тогда

, (1)

где .

Т.к. условие (1) выполняется, и оно не выполняется, то (1) есть уравнение прямой l в R. Или

. (1')

Из пропорциональности столбцов определителя следует

. (1'')

II. Прямая, проходящая через две известные точки

, , , где . Тогда – направляющий вектор l: . Выберем , . Подставим в уравнение (1), принимая за М ₀ точку М ₁,

. (2)

Преобразуем уравнение (2):

.

Поделим обе части равенства на и и получим

. (2')

III. Параметрическое задание прямой

, , .

, t – параметр .

(3)

IV. Уравнение прямой с известным угловым коэффициентом

, , . Т.к. , значит и не коллинеарны и .

Определение. Число называется угловым коэффициентом прямой l.

Угловой коэффициент прямой не зависит от выбора её направляющего вектора. Пусть , но и , тогда и . Пусть , тогда и .

Найдем уравнение прямой l, заданной точкой и угловым коэффициентом k. Пусть и , тогда по (1) или . Т.к. задан k, то .

Разделим равенство на а ₁: ,

. (4)

Если , то или . (4')

Геометрический смысл углового коэффициента прямой ясно виден в случае : , где a – угол наклона прямой к оси OX.

V. Уравнение прямой «в отрезках»

, прямая , , a ¹0, b ¹0.

По (2): , в нашем случае

,

или . Поделим на ab ¹0: . (5)

VI. Общее уравнение прямой

1) В задана прямая , где , . Тогда можно записать уравнение (1'): . Здесь координаты удовлетворяют (1'), координаты не удовлетворяют (1'), что следует из .

Т.е. (1') есть уравнение точек прямой l.

Т.к. – направляющий вектор прямой, то , значит, хотя бы одно из Из (1') следует . Относительно переменных x и y уравнение будет первой степени.

2) Можно доказать и обратное утверждение. Таким образом, справедлива

Теорема. В аффинной системе координат на плоскости уравнение первой степени определяет прямую линию и только ее.

Определение. Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Вектор называется перпендикулярным данной прямой, если перпендикулярен любому направляющему вектору прямой.

Лемма. Если прямая d в прямоугольной системе координат задана уравнением , то перпендикулярен прямой d.

где и

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

В аффинной системе координат: , . – направляющие векторы прямых l ₁ и l ₂ соответственно.

Возможны следующие случаи расположения прямых:

1) , что следует из неколлинеарности направляющих векторов и ;

2) . В этом случае , но l ₁ не совпадает с l ₂;

3)

Угол между двумя прямыми

Пусть даны две пересекающиеся прямые и .

Определение. Угол между прямыми – это меньший из углов, получающихся при пересечении двух прямых.

На ориентированной плоскости можно говорить об угле между прямыми как об угле между направляющими векторами этих прямых.

Пусть дан ортонормированный репер . Две прямые и заданы общими уравнениями , . Тогда искомый угол φ найдём по формуле: .

Дата добавления: 2015-07-15