Скалярний добуток векторів

У фізичних, технічних економічних застосуваннях математики велике значення має розв‘язок задачі про визначення роботи, яку виконує задана стала сила при переміщенні матеріальної точки. Якщо точка переміщується прямолінійно, то, як відомо, робота дорівнює добутку величини сили на величину переміщення і на косинус кута між напрямком сили і напрямком переміщення. Позначимо силу , а переміщення , отримаємо для обчислення роботи вираз:

Оскільки подібна операція з двома векторами зустрічається досить часто, то для неї введена спеціальна назва, спеціальне позначення і вивчені всі нові властивості.

Визначення. Скалярним добутком двох векторів називається добуток їх довжин і косинуса кута між ними.

Скалярний добуток двох векторів і позначимо символом . У відповідності з визначенням

(1)

Безпосередньо із визначення випливає, що скалярний добуток двох векторів є скаляр.

Кут між двома векторами не залежить від того, який вектор вибирається першим і який другим, тому

(2),

тобто скалярний добуток має комутативну властивість.

Оскільки є проекція вектора на вісь, направлену так, як і вектор , є проекція вектора на вісь, направлену по вектору , то

(3)

Тепер легко показати, що скалярний добуток векторів має розподільчу властивість, тобто

(4)

Дійсно

Але .

Отже

.

Неважко перевірити, що скалярний добуток має асоціативну властивість по відношенню до скалярного множника.

(5)

Із визначення скалярного добутку векторів випливає, що

Отже, скалярний добуток вектора на самого себе дорівнює квадрату довжини вектора. Зокрема

(6)

Якщо два вектори взаємно перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю. Навпаки, якщо скалярний добуток дорівнює нулю, але ні один із векторів не є нуль, то в нуль повинен обертатися косинус кута між векторами, а тому вектори повинні бути перпендикулярні.

Отже, для того щоб два вектори були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю.

Оскільки напрямок нульового вектора вважається довільним, то можна вважати нульовий вектор перпендикулярним будь-якому вектору. Тому в наведеній умові перпендикулярності двох векторів немає необхідності особливо вказувати, що ні один із векторів не повинен бути нульовим.

Із умови перпендикулярності отримаємо, зокрема, що

(7)

Якщо вектори задані своїми координатами в ортонормованому базисі , то, використовуючи розподільчу і сполучну по відношенню до скалярного множника властивості скалярного добутку, одержимо:

(8)

тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків одноіменних координат цих векторів.

Із визначення скалярного добутку двох векторів безпосередньо знаходиться формула для обчислення косинуса кута між двома векторами

(9)

Дата добавления: 2015-07-18