Задание на контрольную работу

Исследуемая автоматическая система регулирования режимом работы одного из тепловых объектов задана в виде структурной схемы, передаточных функций звеньев, входящих в систему, а также цифровых данных, характеризующих параметры каждого звена.

Необходимо составить передаточную функцию автоматической системы регулирования: исследовать систему на устойчивость с помощью критерия Михайлова; пользуясь методом частотных характеристик, рассчитать и построить кривую переходного процесса замкнутой системы регулирования при единичном ступенчатом входном воздействии; сделать выводы о качестве процесса регулирования системы.

W₄(p)

W₃(p)

W₂(p)

W₁(p)

х_вх.f(x) x_вых.

(-) (-)

Дано:

W₁(p)= W₃ =

W₂(p)= K₂ W₄(p) =

К₁ = 2 Т₁ = 5 с τ = 20,0с

К₂ = 6 Т₂ = 8 с

К₃ = 5 Т₃ = 25 с

К₄ = 0,2 Т₄ = 40с

1. В структурной схеме АСР обрабатываем внутренние связи и определяем передаточные функции эквивалентных связей.

1.1 Встречно-параллельное соединение или соединение с обратной связью (звенья с передаточными функциями W₂(p) и W₄(p)).

W₂(p)

х_вх. х_вых.

W₄(p)

В этом случае на вход звена одновременно с входной величиной через звено обратной связи W₄ (p) подается его выходная величина.

W_2,4(p) = = = =

1.2 Последовательное соединение звеньев (звенья с передаточными функциями W₁(p), W_2.4(p), W₃(p)):

W_экв. = W₁(p) W_2.4(p) W₃(p) = = =

2. Находим передаточную функцию разомкнутой АСР:

W_р(p) = W_экв.(р) =

3. Находим передаточную функцию замкнутой АСР:

W_р(p) = = =

4. Определим устойчивость АСР по критерию Михайлова.

Передаточная функция замкнутой АСР имеет вид:

Запишем характеристическое уравнение:

Произведем замену в характеристическом уравнении оператора (р) комплексным числом (jω):

W(jω) = 1000(jω)³ + 255(jω)² + 491(jω) + 12

- 1000jω³ – 255ω² + 491 jω + 12 = 0

Выделим из этого выражения мнимую и вещественную части:

вещественная часть U(ω) = 12 - 255ω²;

мнимая часть V(ω) = 491jω - 1000jω³ = j(491ω - 1000 ω³)

Определяем значения мнимой и вещественной частей выражения при различных значениях ω (от 0до ∞).

Данные расчетов занесем в таблицу 1.

Таблица 1.

ω		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
U(ω)		9,45	1,8	-10,95	-28,8	-51,75	-84,6	-113	-151,2	-243
V(ω)		48,1	90,2	120,3	132,4	120,5	78,6	0,7	-119,2	-509

U(ω):

12 – 255ω² = 12 – 255 0² = 12

12 – 255ω² = 12 – 255 0,1² = 9,45

12 – 255ω² = 12 – 255 0,2² = 1,8

12 – 255ω² = 12 – 255 0,3² = -10,95

12 – 255ω² = 12 – 255 0,4² = -28,8

12 – 255ω² = 12 – 255 0,5² = -51,75

12 – 255ω² = 12 – 255 0,6² = -84,6

12 – 255ω² = 12 – 255 0,7² = -113

12 – 255ω² = 12 – 255 0,8² = -151,2

12 – 255ω² = 12 – 255 1² = -243

V(ω):

491ω - 1000ω³ = 491 0 – 1000 0³ = 0

491ω - 1000ω³ = 491 0,1 – 1000 0,1³ = 48,1

491ω - 1000ω³ = 491 0,2 – 1000 0,2³ = 90,2

491ω - 1000ω³ = 491 0,3 – 1000 0,3³ = 120,3

491ω - 1000ω³ = 491 0,4 – 1000 0,4³ = 132,4

491ω - 1000ω³ = 491 0,5 – 1000 0,5³ = 120,5

491ω - 1000ω³ = 491 0,6 – 1000 0,6³ = 78,6

491ω - 1000ω³ = 491 0,7 – 1000 0,7³ = 0,7

491ω - 1000ω³ = 491 0,8 – 1000 0,8³ = -119,2

491ω - 1000ω³ = 491 1 – 1000 1³ = -509

На основании результатов таблицы 1 строим годограф Михайлова (график 1).

Данная система устойчива, т.к. годограф направлен против часовой стрелки. АСР будет устойчива, если годограф вектора W(jω) в плоскости комплексного переменного при изменении ω от до обходит последовательно против часовой стрелки n- число квадрантов и не обращается в ноль.

5. Строим кривую переходного процесса замкнутой АСР методом трапецеидальных характеристик.

5.1 В передаточной функции замкнутой АСР заменим оператора р на

jω, получимАФХW(jω), знаменатель АФХ приводим к виду а+jb.

W(jω) = =

5.2 Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число вида а- jb.

W(jω) = =

=

5.3 Сгруппируем вещественные и мнимые члены АФХ так, чтобы W(jω)=U(ω)+jV(ω):

W(jω) = +

5.4 Выписываем вещественную часть U(ω)=f(ω) и строим график этой зависимости:

U(ω) =

Таблица 2.

ω		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
U(ω)		10,388	-16,086	-3,483	-1,533	-0,764

0,6	0,7	0,8	0,9		1,2	1,5
-0,3307	0,012	0,4675	2,278	-2,444	-0,5945	-0,2808

2,2
-0,109	-0,0562	-0,0308	-0,0195

График 2.

5.5 Разбиваем площадь, заключенную между осями координат и вещественной характеристикой на трапеции таким образом, чтобы суммарная площадь трапеций была равна площади, описываемой вещественной характеристикой.

5.6 Составим таблицу характерных параметров трапеций с учетом знака ординат (для треугольника æ=0)

Таблица 3

№ трапеции	Ι	ΙΙ	ΙΙΙ	ΙV
Ui(0)	-9,4	26,5	-12,6	-3,5
ω^id(0)		0,1	0,2	0,3
ω^i0(0)	0,1	0,2	0,3	0,65
æ=ωd/ω0		0,5	0,67	0,46

Выполним проверку условия: U(0)=∑Uⁱ(0)

U(0) = -9,4 + 26,5 – 12,6 – 3,5 = 1

5.7 Для каждой трапеции составляем таблицу:

Таблица 4

UІ(0) = -9,4; æІ = 0; ω^І0 = 0,1
t
h(t)		0,31	0,571	0,755	0,856	0,895	0,903	0,904	0,911	0,925	0,939	0,947
τ
h(τ)		-2,914	-5,367	-7,097	-8,046	-8,413	-8,488	-8,498	-8,563	-8,695	-8,827	-8,902
UІІ(0) = 26,5; æІІ = 0,5; ω^ІІ0 = 0,2
t
h(t)		0,461	0,831	1,061	1,141	1,117	1,051	0,992	0,966	0,968	0,982	0,993
τ
h(τ)		12,217	22,022	28,117	30,237	29,6	27,852	26,288	25,599	25,652	26,023	26,315
UІІІ(0) = -12,6; æІІІ = 0,67; ω^ІІІ0 = 0,3
t
h(t)		0,505	0,899	1,116	1,162	1,097	1,001	0,941	0,934	0,967	1,006	1,027
τ		3,33	6,67		13,33	16,67		23,33	26,67		33,33	36,67
h(τ)		-6,363	-11,33	-14,06	-14,641	-13,822	-12,613	-11,857	-11,768	-12,18	-12,676	-12,94
UІV(0) = -3,5; æІV = 0,46; ω^ІV0 = 0,65
t
h(t)		0,447	0,81	1,038	1,127	1,117	1,062	1,009	0,982	0,978	0,985	0,99
τ		1,538	3,077	4,615	6,154	7,692	9,231	10,769	12,308	13,846	15,385	16,923
h(τ)		-1,565	-2,835	-3,633	-3,945	-3,91	-3,717	-3,532	-3,437	-3,423	-3,448	-3,465

5.8 Строим переходный процесс хⁱ_вых. =f(τ) для каждой трапеции, используя ее вычисленные данные τ и h(τ); здесь х_вых.(τ) = h(τ); переходные процессы всех трапеций строим в одном графике с учетом знака U_i(0). (График 3)

5.9 Строим переходный процесс хвых = f(τ) замкнутой АСР; для этого неибходимо просуммировать для каждого момента времени τ cоответствующие ординаты трапеций хⁱвых (τ).

6.0 По кривой переходного процесса определяем основные параметры качества регулирования:

- время регулирования τ_рег. = 51 с.;

- максимальное динамическое отклонение ∆Х^max_вых.= 7,4;

- перерегулирование η= 1,9;

- колебательность = 2.

Дата добавления: 2015-07-14