Линейные д.у.

Теорема множество решений однородного ур-я (2) образуют линейные пространства

Д-во: L – линейное пр-во для элементов , const

(и 8 аксиом)

пусть у₁,у₂ – решение (2)

рассмотрим их лин. комбинацию:

Система функций называется Л.Н., если равенство

выполняется

Л.З, если

для любых рассматриваемых ф-ций

Теорема 1 Система функций Л.З. когда одна из них является линейной комбинацией

всех остальных.

- линейно зависима

Д-во:

например

например является линейной комбинацией

Следствие: если система содержит функцию эта система Л.З.

2 вектора Л.З. когда они колиниарны

2 функции: Л.З. или ,

т.е. одна функция линейно выражается через другую

Определитель Вронского

Теорема 2 пусть система ф-ций Л.З.

их определитель Вронского , т.е.

Д-во:

Теорема 3 пусть решение ур-я (2)

или

Д-во: (n=2)

решения

Определитель Вронского для системы решений удовлетворяет дифф-му ур-ю:

допустим, при значении

- Лиувиль

Теорема 4 пусть решения ур-я (2)

система решений - Л.Н.

Теорема 5 пусть Л.Н. решения ур-я (2)

функция является общим решением (2)

чтобы выписать общее решение однородного ур-я, нужно найти

n – Л.Н. частных решений

Д-во: 1) - решение - доказано

2) при начальных условиях набор констант

начальных условиях

введем начальное условие:

получим систему n – го порядка относительно констант

система (***) имеет единственное решение , т.е. константы определяются единственным образом.

Теорема 6 Л.Н. решения ур-я (2)

- решение (1)

общее решение неоднородного уравнения (1)

(здесь общее решение (2))

Д-во: 1) - решение (1)

- решение (1)

2) подставим начальные условия:

Уравнения с постоянными коэффициентами

(2.1) однородное уравнение 2го порядка

подберем так, чтобы было решением

1)

2)

Теорема 7 если функция является решением однородного ур-я (2)

тоже являются решениями (2)

Д-во:

отделим действительную часть от мнимой:

из Т. следует, что в качестве решения можем брать действительную и мнимую части:

3) есть только одно решение

подберем второе решение, чтобы не являлось Const

многочлен n-ной степени

пусть - корень уравнения (3) кратности m

ф-ция: решение (2)

если n - кратный корень, то есть m Л.Н. частных решений.

Решение неоднородного уравнения.

(1)

(2)

- общее решение (2)

Метод вариации произвольных постоянных.

- решение (1) ищем в этом виде.

Пусть =0 ->

= f(x)

(3) -> единственное решение.

= 0

y1 y2

= W(y1,y2) 0

В общем виде:

Пусть - общее решение ,

Тогда - общее решение ,

где

(3)

Пример 1.

Решение.

1) = 0;

2) y =C1(x)cos x + C2(x) sin x

y = cos x + sin x + ( cos x + tg x sin x).

Ответ. y = cos x + sin x + ( cos x + tg x sin x).

Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, где правая часть имеет специальный вид.

(1)

(2)

(3)

I. не корень характеристического уравнения.

ищем в виде:

тогда

(*)

II. или , k1 k2

ищем в виде:

(**)

Ш. =k2=-p/2

ищем в виде:

(***)

2) f(x)= (Pn(x) cos x + Qn(x)sin x) n- старшая из степеней.

I. +i

= (Un(x) cos x + Vn(x)sin x)

II. +i

=x* (Un(x) cos x + Vn(x)sin x)

Пример 2.

Решение.

1)

2)

Ответ. .

Пример 3.

Решение.

1)

2)

Ответ.

Пример 4.

Решение.

1)

2)

Ответ. .

Пример 5.

1)

2)

=A cos x+ B sin x

=-A sin x+ B cos x

=-Acos x – B sin x

-Acos x – Bsin x – 2Asin x + 2Bcos x+5Acos x +5Bsin x = 2cos x

cos x(-A+2B+5A)=2cos x +sin x (B+2A-5B)

-A+2B+5A=2

4A+2B=2

2A+2B=1

B=1/5, A=2/5;

y = 2/5 cos x +1/5 sin x

y =

Ответ. y= .

Пример 6.

1)

2)

=x (Acos 2x + Bsin 2x)

=(-2Asin 2x+2Bcos 2x)x + Acos 2x+ Bsin 2x

= - 2Asin 2x + 2Bcos 2x + x(-4Acos 2x – 4Bsin 2x) + Acos 2x +Bsin 2x.

-2Asin 2x+ 2B cos 2x + Acos 2x + Bsin 2x = 0

(-2A+B)sin 2x + (2B+A)cos 2x=0.

A=0, B=1/4;

=x(1/4 sin 2x).

Y=C1cos 2x + C2 sin 2x+ ¼*x*sin 2x.

Ответ. Y=C1cos 2x + C2 sin 2x+ ¼*x*sin 2x.

Теорема 8.

решение

решение

решение уравнения +

Доказательство.

Проверим:

ч.т.д.

Пример 7.

Решение.

1)

2)

f1(x) = x, =Ax+B

f2(x) = 3

(A+ C )` + 4 (Ax+B+C ) = x + 3

C +4Ax+4B+4C =x +3

C=3/5, A=1/4, B=0;

y=C1cos 2x + C2sin 2x + 1/4x+ 3/5

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРОВНЕНИЙ.

(1)

(2)

Т.1

Если система разрешена относительно старших производных, то можно свести к нормальному виду.

Док.

пусть y=y₁, y^|=y₂,…, y^(n-1)=y_n

Сведение дифференциальных систем уравнений к линейным

;

Аналогично

()

решение относительно y₂,…,y_n

Подставим в ()

y^| = x+y+z

z^| = 2x-4y-3z

y(0)=0

z(0)=0

y^|| = 1+y^| +z^|

y^|| = 1+x+y+z+2x-4y-3z

z=y^| -x-y

K=-1

y₀ =e^-x(c₁+c₂x)

2)

y_* Ax+B

2A+Ax+B = 5x+1

A=5

B=-9

1=c₁-9 c₁=10

0=-2c₁+c₂+14 c₂=6

Линейные системы

(1)

X=(x₁,…,x_n)

…

A(t)= …

…………………………

…

(1) (2)

Общее решение однородной системы

x¹,…,xⁿ – частные лин. Независимые решения (2)

С₁,…,С_n – произвольные постоянные

О.р. (1):

X=X⁰+X^*

X⁰- общее решение однородной системы

X^*- частные решения (1)

y^|,…,yⁿ – лин. Независимы =>

x^|,…,xⁿ – решение (2)

x^|,…,xⁿ лин. независимы W(x^|,…,xⁿ)

Линейные системы с постоянными коэффициентами

(1)

(2)

ищем решение (2) в виде

Если и выполняется (3), то называется собственным числом А

- собственным вектором

(4)

1) (4) имеет n корней

=> , j=1,…,n.

лин. независимые решения (2)

2) (4) имеет кратные корни.

Пусть - корень кратности

ему соответствуют собственные векторы

2.1) k=m

лин. независимые решения (2)

2.2) k<m

=> частное решение ищется в виде

3 4 -2

A= 1 0 1

6 -6 5

-1- 4 -2

1 - 1

6 -6 5-

(-3- ) ( -5 +6 ) -4(5- -6) -2(-6+6 )=0

-( +3)( ² -5 +6 ) +8 +16

( +3)( -2)( -3) +8( -2)=0

=2 ² -9 +8=0 = 1

Метод вариации произвольных постоянных.

(1)

(2)

Пусть

- однородное решение (2), будем искать однородное решение (1) в виде .

(3)

Определитель (3) – определитель Вронского для системы т.к.в 0 не обращаются, то (3) имеет единственное решение.

(4)

Примеры:

1) , , ,

, , .

а)

б)

, ,

,

, ;

, ;

О: , ,

(1)

, где 1-кратность собственного числа .

2)

, , ,

a)

б)

, ,

, ,

, ,

Дата добавления: 2015-07-14