Издержек

ГЛАВА 20

КРИВЫЕ

В предыдущей главе описано поведение фирмы, направленное на минимизацию издержек. Здесь мы продолжаем это исследование, используя в этих целях важное геометрическое построение — кривую издержек. Кривые издержек могут использоваться для графического изображения функции издержек фирмы и играют важную роль в изучении определения ее оптимального объема выпуска.

20.1. Средние издержки

Рассмотрим функцию издержек, описанную в предыдущей главе. Это функция c (w ₁, w ₂, y), показывающая минимальные издержки производства объема выпуска y при ценах факторов, равных (w ₁, w ₂). Далее в этой главе будем принимать цены факторов постоянными, так что можно записывать издержки как функцию одного лишь y, т.е. c (y).

Некоторые издержки фирмы не зависят от объема ее выпуска. Как мы видели в гл. 19, это постоянные издержки. Постоянные издержки — это издержки, которые должны оплачиваться независимо от того, какой объем выпуска производит фирма. Например, фирма может иметь обязательства в отношении платежей по закладной, подлежащие выполнению вне зависимости от того, каков объем ее выпуска.

Другие издержки изменяются с изменением объема выпуска — это переменные издержки. Общие издержки фирмы всегда могут быть представлены как сумма переменных издержек c_v (y) и постоянных издержек F:

c (y) = c_v (y) + F.

Функция средних издержек показывает издержки на единицу выпуска. Функция средних переменных издержек показывает переменные издержки на единицу выпуска, а функция средних постоянных издержек показывает постоянные издержки на единицу выпуска. Согласно приведенному выше уравнению:

,

где AVC (y) обозначает средние переменные издержки, а AFC (y) — средние постоянные издержки. Как выглядят эти функции издержек? Легче всего, конечно, изобразить функцию средних постоянных издержек: при y = 0 она принимает значение, равное бесконечности, а по мере увеличения y средние постоянные издержки убывают, стремясь к нулю. Это изображено на рис.20.1A.

A B C

Рис. 20.1

Построение кривой средних издержек. (A) Средние постоянные издержки убывают по мере увеличения выпуска. (B) Средние переменные издержки в конечном счете возрастают по мере роста выпуска. (C) Сочетание этих двух эффектов дает U-образную кривую средних издержек.

Рассмотрим функцию переменных издержек. Начнем с нулевого объема выпуска и рассмотрим производство одной единицы выпуска. При y = 1 средние переменные издержки есть не что иное, как переменные издержки производства этой одной единицы выпуска. Теперь увеличим объем производства до двух единиц. Можно ожидать, что, в худшем случае, переменные издержки удвоятся, так что средние переменные издержки останутся без изменений. Если при увеличении масштаба производства удастся организовать производство более эффективным образом, средние переменные издержки поначалу могут даже снизиться. Но в конечном счете следует ожидать роста средних переменных издержек. Почему? Если в производстве задействованы и постоянные факторы, то с течением времени они приведут к сжатию процесса производства.

Предположим, например, что постоянные издержки обусловлены арендными платежами или платежами по закладной за здание фиксированного размера. Тогда при увеличении производства средние переменные издержки — издержки производства на единицу продукции — могут в течение некоторого времени оставаться постоянными. Однако по достижении полного использования производственных мощностей здания эти издержки резко возрастут, порождая кривую средних переменных издержек формы, представленной на рис.20.1B.

Кривая средних издержек есть сумма этих двух кривых, поэтому она будет иметь U-образную форму, показанную на рис.20.1C. Первоначальное убывание средних издержек вызвано убыванием средних постоянных издержек; возрастание средних издержек в конечном счете вызвано возрастанием средних переменных издержек. Сочетание двух этих эффектов дает U-образную форму кривой, представленную на данном рисунке.

20.2. Предельные издержки

Существует еще одна кривая издержек, представляющая интерес: кривая предельных издержек. Кривая предельных издержек показывает изменение издержек, приходящееся на данное изменение объема выпуска. Иными словами, при любом данном объеме выпуска y можно задать вопрос о том, как будут меняться издержки, если мы изменим выпуск на некую величину D y:

.

С тем же успехом можно записать определение предельных издержек, выразив его через функцию переменных издержек:

.

Это определение эквивалентно первому, поскольку c (y) = c_v (y) + F и постоянные издержки F при изменении y не меняются.

Часто мы воспринимаем D y просто как еще одну единицу выпуска, так что предельные издержки показывают, насколько изменятся издержки, если мы решим производить еще одну единицу дискретного товара. Если рассматривать производство дискретного товара, то предельные издержки производства y единиц выпуска есть просто c (y) — c (y — 1). Такой способ представления предельных издержек удобен, но иногда вводит в заблуждение. Не забудьте, предельные издержки показывают относительное изменени е: изменение издержек, деленное на изменение выпуска. Если выпуск изменяется на одну единицу, то предельные издержки выглядят просто как изменение издержек, но в действительности это относительное изменение при увеличении выпуска на одну единицу.

Как расположить эту кривую предельных издержек на представленном выше графике? Во-первых, отметим следующее. По определению, когда производится нуль единиц выпуска, переменные издержки равны нулю. Следовательно, для первой произведенной единицы выпуска

.

Таким образом, предельные издержки производства первой малой единицы выпуска равны средним переменным издержкам производства одной единицы выпуска.

Предположим теперь, что мы производим в том диапазоне выпуска, где средние переменные издержки убывают. Тогда в этом диапазоне предельные издержки должны быть меньше средних переменных издержек. Ведь для того чтобы понизить значение среднего, следует добавить числа, которые были бы меньше значения среднего.

Вообразите себе последовательность чисел, представляющих средние издержки при различных объемах выпуска. Если среднее уменьшается, значит, издержки производства каждой дополнительной единицы до сих пор были меньше среднего. Чтобы понизить значение среднего, придется добавлять дополнительные единицы, издержки производства которых меньше среднего.

Аналогично, если мы находимся в области, где средние переменные издержки растут, значит, предельные издержки должны быть больше средних переменных издержек, именно более высокие предельные издержки и подталкивают средние издержки вверх. Таким образом, мы знаем, что кривая предельных издержек должна лежать под кривой средних переменных издержек слева от точки минимума последних и над нею справа от точки их минимума. Из этого следует, что кривая предельных издержек должна пересекать кривую средних переменных издержек в точке минимума последней.

В точности такая же аргументация применима и к кривой средних издержек. Если средние издержки снижаются, значит, предельные издержки должны быть меньше средних, а если средние издержки растут, предельные издержки должны быть больше средних. Эти соображения позволяют нам провести кривую предельных издержек так, как это сделано на рис.20.2.

Итак, повторим самые важные моменты:

· Кривая средних переменных издержек поначалу, хотя это и необязательно, может иметь отрицательный наклон. Однако в конечном счете она будет возрастать до тех пор, пока имеются постоянные факторы, вызывающие сжатие производства.

· Кривая средних издержек поначалу должна убывать из-за убывания постоянных издержек, но затем ее наклон должен стать положительным вследствие возрастания средних переменных издержек.

· Для первой единицы выпуска предельные и средние переменные издержки одинаковы.

· Кривая предельных издержек проходит через точку минимума как кривой средних переменных, так и кривой средних издержек.

Кривые издержек. Кривая средних издержек (AC), кривая средних переменных издержек (AVC) и кривая предельных издержек (MC).

Рис. 20.2

20.3. Предельные издержки и переменные издержки

Между различными кривыми издержек существуют и некоторые другие взаимосвязи. Вот одна из них, не столь уж очевидная: оказывается, площадь под кривой предельных издержек вплоть до точки y дает нам величину переменных издержек производства y единиц выпуска. Почему это так?

Кривая предельных издержек показывает издержки производства каждой дополнительной единицы выпуска. Сложив друг с другом издержки производства каждой единицы выпуска, получим общие издержки производства за вычетом постоянных издержек.

Эту аргументацию можно сделать строгой для случая, когда выпускаемый товар производится в дискретных (состоящих из отдельных неделимых единиц) количествах. Во-первых, отметим, что

c_v (y) = [ c_v (y) — c_v (y — 1)] + [ c_v (y — 1) — c_v (y — 2)] +

L + [ c_v (1) — c_v (0)].

Это справедливо, поскольку c_v (0) = 0 и все средние члены сокращаются: второй член взаимно уничтожается с третьим, четвертый член с пятым и т.д. Но каждый член этой суммы представляет собой предельные издержки при различных объемах выпуска:

c_v (y) = MC (y — 1) + MC (y — 2) + L + MC (0)

Таким образом, каждый член этой суммы представляет собой площадь прямоугольника с высотой MC (y) и основанием 1. Суммирование всех этих прямоугольников дает, как показано на рис.20.3, площадь под кривой предельных издержек.

Рис. 20.3

Предельные издержки и средние переменные издержки. Площадь под кривой предельных издержек дает переменные издержки.

ПРИМЕР: Конкретные виды кривых издержек

Рассмотрим функцию издержек c (y) = у ² + 1. Имеем следующие производные от нее кривые издержек:

· кривая переменных издержек: c_v (y) = у ²

· кривая постоянных издержек: c_f (y) = 1

· кривая средних переменных издержек: AVC (y) = у ²/ y = y

· кривая средних постоянных издержек: AFC (y) = 1/ y

· кривая средних издержек:

· кривая предельных издержек: MC (y) = 2 у.

Все эти формулы очевидны, за исключением последней, которая тоже очевидна, если вы знакомы с дифференциальным исчислением. Если функция издержек есть c (y) = у ² + F, то функция предельных издержек задана выражением MC (y) = 2 y. Если вам этот факт еще не известен, то запомните его, поскольку придется его использовать в упражнениях.

Как выглядят эти кривые? Самый легкий способ их изобразить состоит в том, чтобы вначале нарисовать кривую средних переменных издержек, представляющую собой прямую линию с наклоном 1. Нетрудно нарисовать также кривую предельных издержек, которая является прямой линией с наклоном 2.

Кривая средних издержек достигает минимума в точке, где средние издержки равны предельным, что записывается в виде уравнения

,

решив которое, получаем y _min = 1. При y = 1 средние издержки равны 2, и этому равны также и предельные издержки. Итоговый результат показан на рис.20.4.

Кривые издержек. Кривые издержек для функции c (y) = у ^2 + 1.

Рис. 20.4

ПРИМЕР: Кривые предельных издержек для двух заводов

Предположим, что у вас имеются два завода с двумя различными функциями издержек c ₁(y ₁) и c ₂(y ₂). Вы хотите произвести y единиц выпуска самым дешевым способом. Вообще говоря, вы хотите произвести одинаковый объем выпуска на каждом заводе. Вопрос: какой именно объем выпуска вы должны произвести на каждом заводе?

Сформулируем задачу минимизации:

min c ₁(y ₁) + c ₂(y ₂)

y ₁, y ₂

при y ₁ + y ₂ = y.

Как можно ее решить? Оказывается, при оптимальном разделении выпуска между двумя заводами должно соблюдаться равенство предельных издержек производства выпуска на заводе 1 предельным издержкам производства выпуска на заводе 2. Чтобы доказать это, допустим, что предельные издержки не равны; тогда выгодно перебросить небольшой объем производства с завода с более высокими предельными издержками на завод с более низкими предельными издержками. Если разделение выпуска оптимально, то переключение выпуска с одного завода на другой не может снизить издержки.

A B C

Рис. 20.5

Предельные издержки для фирмы с двумя заводами. Кривая совокупных предельных издержек, показанная справа, есть результат суммирования по горизонтали кривых предельных издержек для двух заводов, показанных слева.

Обозначим через c (y) функцию издержек, соответствующую самому дешевому способу производства y единиц выпуска, а именно, издержки производства y единиц выпуска при условии оптимального разделения выпуска между двумя заводами. Предельные издержки производства добавочной единицы выпуска должны быть одинаковы независимо от того, на каком из заводов ее производят.

На рис.20.5 изображены две кривые предельных издержек MC ₁(y ₁) и MC ₂(y ₂). Кривая предельных издержек для двух заводов, взятых вместе, как показано на рис.20.5C, есть просто результат суммирования по горизонтали этих двух кривых предельных издержек.

При любом постоянном уровне предельных издержек, скажем c, мы будем производить такие объемы выпуска и , которые соответствуют равенству MC ₁() = MC ₁() = c, и, таким образом, мы произведем + единиц выпуска. Следовательно, объем выпуска, произведенный при любых предельных издержках c, есть просто сумма выпусков, произведенных при условии, что и предельные издержки завода 1, и предельные издержки завода 2 равны c, т.е.,результату суммирования по горизонтали кривых предельных издержек.

20.4. Долгосрочные издержки

В проведенном выше анализе мы рассматривали в качестве постоянных издержек фирмы издержки, связанные с оплатой факторов, не подлежащих изменению в краткосрочном периоде. В длительном периоде фирма может выбирать количество используемых ею "постоянных" факторов — они более уже не являются постоянными.

Разумеется, в длительном периоде по-прежнему могут иметься квазипостоянные факторы. Иными словами, данная технология может обладать тем свойством, что некоторые издержки придется оплачивать, чтобы произвести любой положительный объем выпуска. Однако в длительном периоде не существует постоянных издержек в том смысле, что всегда есть возможность произвести ноль единиц выпуска при нулевых издержках, иными словами, всегда существует возможность прекратить деятельность. Если в длительном периоде имеются квазипостоянные факторы, то кривая средних издержек будет иметь, как и в коротком периоде, U-образную форму. Но в длительном периоде, по самому его определению, всегда будет существовать возможность производства нулевого выпуска при нулевых издержках.

Конечно, какой именно период следует считать длительным, зависит от исследуемой задачи. Если в качестве постоянного фактора мы рассматриваем размеры завода (здесь и далее под размером завода понимаются производственные мощности — прим. научн.ред.), то продолжительность длительного периода будет определяться тем, сколько времени потребуется фирме, чтобы изменить размеры своего завода. Если мы рассматриваем в качестве постоянного фактора контрактные обязательства по выплате заработной платы, то продолжительность длительного периода будет зависеть от того, сколько времени потребуется фирме, чтобы изменить количество используемой ею рабочей силы.

Чтобы быть конкретнее, будем считать постоянным фактором размер завода и обозначим его размер буквой k. Функцию краткосрочных издержек фирмы при условии, что фирма имеет завод площадью k квадратных футов, обозначим через c_s (y, k), где нижний индекс s обозначает "краткосрочный период" (k здесь играет такую же роль, какую в гл. 19 играет ).

Для любого данного объема выпуска всегда существует какой-то размер завода, который оптимален для производства этого объема выпуска. Обозначим этот размер завода через k (y). Это условный спрос фирмы на фактор (в роли которого выступает размер завода) как функция выпуска. (Разумеется, он также зависит от цены размера завода и от цен других факторов производства, но эти аспекты аргументации мы оставляем в стороне). Тогда, как мы видели в гл. 19, функция долгосрочных издержек фирмы будет задана выражением c_s (y, k (y)). Это общие издержки производства объема выпуска y при условии, что фирма имеет возможность оптимально изменять размеры своего завода. Функция долгосрочных издержек фирмы есть не что иное, как функция ее краткосрочных издержек, оцененная в точке оптимального выбора постоянных факторов:

c (y) = c_s (y, k (y)).

Посмотрим, как это выглядит на графике. Выберем какой-то объем выпуска y * и обозначим через k * = k (y *) оптимальный размер завода для данного объема выпуска. Функция краткосрочных издержек для завода размером k * задается выражением c_s (y, k*), а функция долгосрочных издержек — выражением c (y) = c_s (y, k (y)), как показано выше.

Теперь обратите внимание на тот важный факт, что краткосрочные издержки производства выпуска y должны всегда быть по крайней мере не меньше, чем долгосрочные издержки производства y. Почему? В краткосрочном периоде размер завода фирмы постоянен, в то время как в долгосрочном периоде фирма вольна изменять размер своего завода. Поскольку одним из возможных вариантов выбора фирмы в длительном периоде является выбор завода размером k *, оптимальному выбору производства y единиц выпуска должны соответствовать издержки по крайней мере не большие, чем c (y, k*). Это означает, что при изменении размера завода дела фирмы должны идти по крайней мере не хуже, чем при постоянном размере завода. Поэтому

c (y) £ c_s (y, k*)

для всех объемов выпуска y.

На самом деле мы знаем, что для одного конкретного объема y, а именно для y *,

c (y*) = c_s (y*, k*).

Почему это так? Потому что при y* оптимальным выбором размера завода является k*. Поэтому при y* долгосрочные и краткосрочные издержки производства оказываются одинаковыми.

Если краткосрочные издержки всегда больше долгосрочных и они равны при равном объеме выпуска, это означает, что краткосрочные и долгосрочные издержки обладают одним и тем же свойством: AC (y) £ AC_s (y, k*) и AC (y*) = AC_s (y*, k*). Это подразумевает, что кривая краткосрочных средних издержек всегда лежит над кривой долгосрочных средних издержек и они касаются друг друга в одной точке y*. Поэтому кривая долгосрочных средних издержек (LAC) и кривая краткосрочных средних издержек (SAC) в этой точке должны касаться друг друга, как показано на рис.20.6.

Краткосрочные и долгосрочные средние издержки. Кривая краткосрочных средних издержек должна касаться кривой долгосрочных средних издержек.

Рис. 20.6

Мы можем проделать такого же рода построения для объемов выпуска, отличных от y*. Предположим, что мы выбираем объемы выпуска y ₁, y ₂,..., y_n и соответствующие им размеры завода k ₁ = k (y ₁), k ₂ = k (y ₂),..., k_n = k (y_n). Тогда получаем картину, подобную изображенной на рис.20.7. Суть рис.20.7 заключается в утверждении, что кривая долгосрочных средних издержек огибает кривые краткосрочных средних издержек снизу.

20.5. Дискретные уровни размера завода

В проведенных выше рассуждениях молчаливо предполагалось, что можно выбирать непрерывное количество различных размеров заводов. Таким образом, каждому объему выпуска соответствует единственный оптимальный размер завода. Однако можно посмотреть также, что произойдет, если выбор ограничен лишь несколькими разными размерами завода.

Рис. 20.7

Краткосрочные и долгосрочные средние издержки. Кривая долгосрочных средних издержек есть огибающая кривых краткосрочных средних издержек.

Допустим, например, что имеются четыре различных варианта выбора размера завода, k ₁, k ₂, k ₃ и k ₄. На рис.20.8 изображены четыре различные кривые средних издержек, соответствующих этим размерам завода.

Рис. 20.8

Дискретные уровни размера завода. Как и раньше, кривая долгосрочных издержек является нижней огибающей кривых краткосрочных издержек.

Как можно построить кривую долгосрочных издержек? Вспомним, что кривая долгосрочных средних издержек есть та кривая издержек, которую мы получаем, оптимально изменяя k. В данном случае сделать это нетрудно: поскольку у нас всего четыре различных размера завода, мы просто смотрим, какому из них соответствуют наименьшие издержки, и выбираем именно этот размер завода. Иными словами, для любого объема выпуска y мы просто выбираем такой размер завода, который дает минимальные издержки производства данного объема выпуска.

Долгосрочные предельные издержки. В случае дискретных объемов постоянного фактора фирма выбирает то количество постоянного фактора, которое минимизирует средние издержки. Поэтому кривая долгосрочных предельных издержек будет состоять из различных частей кривых краткосрочных предельных издержек, связываемых с каждым объемом постоянного фактора.

Рис. 20.9

Таким образом, кривая долгосрочных средних издержек должна, как показано на рис.20.8, являться нижней огибающей кривых краткосрочных средних издержек. Обратите внимание на то, что качественный смысл этого рисунка тот же самый, что и рис.20.7: краткосрочные средние издержки всегда по крайней мере не меньше долгосрочных средних издержек, и указанные издержки равны при том объеме выпуска, при котором долгосрочный спрос на постоянный фактор равен имеющемуся у вас количеству постоянного фактора.

20.6. Долгосрочные предельные издержки

Как мы видели в предыдущем параграфе, кривая долгосрочных средних издержек есть нижняя огибающая кривых краткосрочных средних издержек. Что из этого следует применительно к предельным издержкам? Вначале рассмотрим случай с дискретными размерами завода. В этой ситуации кривая долгосрочных предельных издержек состоит, как показано на рис.20.9, из соответствующих кусков кривых краткосрочных предельных издержек. При каждом объеме выпуска мы смотрим, в соответствии с какой кривой краткосрочных средних издержек мы производим, а затем на то, какие предельные издержки связываются с данной кривой.

Это должно быть верно независимо от того, сколько у нас имеется различных размеров завода, так что в случае их непрерывного количества получаем картину, подобную изображенной на рис.20.10. Долгосрочные предельные издержки при любом объеме выпуска y должны равняться краткосрочным предельным издержкам, связанным с размером завода, оптимальным для производства выпуска y.

Рис. 20.10

Долгосрочные предельные издержки. Взаимосвязь между долгосрочными и краткосрочными предельными издержками при непрерывных количествах постоянного фактора.

Краткие выводы

1. Средние издержки представляют собой сумму средних переменных издержек и средних постоянных издержек. Средние постоянные издержки всегда убывают с ростом выпуска, в то время как средние переменные издержки имеют тенденцию возрастать. Итоговым результатом этого является U-образная кривая средних издержек.

2. Кривая предельных издержек лежит под кривой средних издержек в той области, где средние издержки убывают, и над кривой средних издержек в той области, где они возрастают. Следовательно, предельные издержки должны быть равны средним издержкам в точке минимума последних.

3. Площадь под кривой предельных издержек равна переменным издержкам.

4. Кривая долгосрочных средних издержек есть нижняя огибающая кривых краткосрочных средних издержек.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Какие из следующих утверждений правильны? 1) Средние постоянные из-держки никогда не возрастают с ростом выпуска; 2) средние общие издер-жки всегда больше средних переменных издержек или равны им; 3) средние издержки не могут расти при убывании предельных издержек.

2. Фирма производит одинаковый выпуск на двух различных по мощности заводах. Если предельные издержки производства на первом заводе пре-вышают предельные издержки на втором, то каким образом фирма может сократить издержки, сохранив тот же самый объем выпуска?

3. Верно или неверно? В длительном периоде фирма всегда производит в точке минимума кривой средних издержек для завода, размер которого оптимален для производства заданного объема выпуска.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В тексте утверждалось, что средние переменные издержки равны предельным издержкам производства первой единицы товара. В терминах дифференциального исчисления это утверждение запишется так:

= .

Левая часть этого выражения при y = 0 неопределенна. Но ее предел существует, и мы можем найти его, воспользовавшись правилом л'Опиталя, гласящим, что предел дроби (и числитель, и знаменатель которой стремятся к нулю) задан пределом производных числителя и знаменателя. Применяя это правило, получаем

= = ,

что подтверждает сделанное заявление.

Мы утверждали также, что площадь под кривой предельных издержек дает величину переменных издержек. Это легко показать, используя фундаментальную теорему дифференциального исчисления. Поскольку

,

мы знаем, что площадь под кривой предельных издержек есть

c_v (y) = dx = c_v (y) — c_v (0) = c_v (y).

Рассуждения по поводу кривых долгосрочных и краткосрочных предельных издержек совершенно ясны с точки зрения геометрии, но каков их экономический смысл? Оказывается, наиболее удачное интуитивное представление на этот счет дает аргументация с позиций дифференциального исчисления. Предельные издержки производства — это не что иное, как изменение издержек, возникающее вследствие изменения выпуска. В коротком периоде мы должны сохранять размер завода (или какой-то другой фактор) постоянным, в то время как в длительном периоде вольны его корректировать. Поэтому долгосрочные предельные издержки будут состоять из двух частей: изменения издержек при постоянном размере завода плюс изменения издержек при изменении размера завода. Однако если размер завода выбран оптимально, этот последний член должен быть равен нулю! Следовательно, долгосрочные и краткосрочные предельные издержки должны быть одинаковы.

Математическое доказательство этого предполагает применение цепного правила. Используя определение, взятое из текста, получаем:

c (y) º c_s (y*, k (y)).

Взятие производной этого выражения по y дает

.

Если мы оцениваем эту величину при конкретном объеме выпуска y * и связанном с ним оптимальном размере завода, то мы знаем, что

,

потому что равенство k * размеру завода, минимизирующему издержки при объеме выпуска y*, является необходимым условием первого порядка. Следовательно, второй член в данном выражении превращается в нуль, и остается лишь выражение для краткосрочных предельных издержек:

.

Дата добавления: 2015-07-14