Использование метода наименьших квадратов для расчета параметров парной линейной регрессии.

При использовании МНК оптимальными будут значения параметров регрессии, минимизирующие функционал S.

Для оценки параметров модели линейной регрессии наиболее часто используется МНК, согласно которому в каче­стве оценок параметров принимают величины а и Ь, минимизирующие сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений результативного признака у от расчетных (теоретических)

Значения рядов наблюдении х и у нам известны. В функционале S они являются константами, а оценки параметров а и b — переменными. Чтобы найти минимум функции двух переменных, необходимо вычислить ее частные производные по каждому из параметров и приравнять их к нулю (это необходимые условия для экстремума):

Из этих равенств получается система нормальных уравне­ний для оценки параметров а и Ь:

Решая данную систему, находим оценки параметров рег­рессии:

Так как ковариация признаков, а - дисперсия признака, то b можно представить несколько в ином виде:

Параметр b называют коэффициентом регрессии. Его величина показывает, насколько в среднем изменяется значение результативного признака при изменении факторного на единицу. Значения параметра b не имеют ограничений. Если коэффициент регрессии больше нуля, то при увеличении фактора результат повышается и линия регрессии является возрастающей. Если же коэффициент регрессии меньше нуля, то при увеличении фактора результат уменьшается и линия регрессии имеет отрицательный наклон.

Дата добавления: 2015-07-14