Исследование функции на непрерывность

При исследовании функции на непрерывность необходимо проанализировать аналитическое задание функции.

На непрерывность исследуются точки, в которых функция не существует. Если функция задана кусочно-аналитическим способом, то исследуются точки «стыка» области определения.

Исследуем функции на непрерывность и построим графики.

6.1 .

Функция определена при всех значениях , кроме . Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, состоящей из двух интервалов . Следовательно, точкой разрыва является точка (функция определена в окрестности этой точки, в самой же точке нарушается условие непрерывности – функция в ней не определена). Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы при :

, .

Следовательно, при функция имеет бесконечный разрыв, т.е. - точка разрыва II рода. Проверьте результаты исследования по графику данной функции (рис.8).

Рис.8

6.2

Функция определена при всех значениях , кроме . Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, состоящей из двух промежутков . Следовательно, единственной точкой разрыва является точка . Для исследования характера разрыва, найдем левый и правый пределы функции при .

,

.

Функция не существует в точке , но предел слева равен пределу справа, значит делаем вывод, что - точка разрыва I рода - точка устранимого разрыва.

Для построения графика доопределим функцию в точке :

.

Рис.9

6.3

Числовая ось, являющаяся областью определения функции , разбита на три промежутка: , в каждом из которых задана соответствующими элементарными функциями:

, , . Внутри каждого из указанных промежутков, эти функции определены и, следовательно, непрерывны. Таким образом, остается исследовать функцию на непрерывность только в точках и , в которых «стыкуются» области определения функций, составляющих функцию .

Точка не входит ни в один из рассматриваемых промежутков, значит – функция не существует в этой точке, т.е. - точка разрыва, так как функция определена в окрестности этой точки, в самой же точке нарушается условие непрерывности. Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы этой функции при .

Получили, что в точке существует конечный левый и правый пределы и они равны между собой, но функция в точке не существует, значит, - точка разрыва I рода - точка устранимого разрыва.

Точка . Функция определена в точке , . Найдем левый и правый пределы этой функции при .

Получаем, что , значит, функция в точке непрерывна. Проверьте результаты исследования по графику данной функции (рис.10).

Рис.10

6.4

Числовая ось, являющаяся областью определения функции разбита на три участка: , в каждом из которых задана соответственно элементарными функциями:

(непрерывна в каждой точке интервала, кроме ), , - непрерывны внутри указанных промежутков. Таким образом, остается исследовать функцию на непрерывность в точках , , в которых «стыкуются» области определения функций и в точке , в которой не существует функция .

Исследуем поведение функции в точке .

Функция определена в точке , . Найдем левый и правый пределы при

,

.

Получили, что , но они конечны, значит - точка разрыва I рода – точка «скачка» (3.4.2).

Функция определена в точке , . Найдем левый и правый пределы при

,

.

Получили, что , значит функция в точке непрерывна.

Функция определена при всех значениях , кроме , значит точка разрыва. Для исследования характера найдем левый и правый пределы этой функции при .

,

.

Получили, что при функция имеет бесконечный разрыв, т.е. - точка разрыва II рода.

Выполним построение графика

Рис.11

Проверьте результаты исследования по графику функции (Рис.11).

6.5

Для исследования функции на непрерывность раскроем модуль по определению модуля

Тогда, исходя из определения, имеем:

Упростим и получим:

Найдем область определения данной функции. Она состоит из трех промежутков . Видим, что функция определена при всех значениях , кроме и . Следовательно, эти точки являются точками разрыва. Для исследования характера разрыва в точке найдем левый и правый пределы этой функции при .

,

.

Получили, что , значит. Точка - точка разрыва I рода – точка скачка.

Для исследования характера разрыва в точке также найдем левый и правый пределы этой функции при .

;

.

Получили, что при функция имеет бесконечный разрыв, т.е. - точка разрыва II рода.

Выполним построение графика функции

Рис.12

Проверьте результаты исследования по графику функции (рис.12).

Замечание При выполнении практических заданий запись исследования можно делать кратко. Рассмотрим на примере 6.6

6.6

Для исследования раскроем модуль , по определению:

;

Упростим полученное выражение:

,

,

Запишем аналитическое выражение функции после выполненых преобразований:

Выполним исследование функции в точках: , , .

1

2

3 –

Вывод: , точка разрыва I рода - точка «скачка».

1

2

3 –

Вывод: , точка разрыва II рода.

1

2

3

Вывод: , точка непрерывности.

Выполним построение графика функции

Рис.13

Замечание График функции удобнее строить с помощью выделения полного квадрата

.

Дата добавления: 2015-07-12