Непрерывность функции в точке

Непрерывность – важное свойство, которым одни функции обладают, а другие нет. Наглядно график всякой непрерывной функции представляет линию без «разрывов», так сказать «сплошную» линию.

Например, график функции (рис.1)

Рис.1

Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки.

Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

(1)

Равенство (1) означает выполнение трех условий:

1 Функция определена в точке и в её окрестности

2 Функция имеет предел при

3 Предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство (1)

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на приращение аргумента и функции.

Пусть функция определена в некотором интервале . Возьмем произвольную точку Для любого разность . называется приращением аргумента х и точке и обозначается («дельта х»): . Отсюда . Разность соответствующих значений функции называется приращением функции в точке и обозначается : или

(рис. 2)

Рассмотрим равенство (1):

,т.к. , отсюда имеем:

=0. Разность пределов функций равна пределу разности, тогда

.

Полученное равенство:

(2)

Является еще одним определением непрерывности функции в точке.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и её окрестности и , т.е. если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Дата добавления: 2015-07-12