Розрахунок характеристик системи зв’язку

2.1. Статистичний аналіз властивостей ймовірності дискретного джерела по заданій реалізації відрізка його вихідного тексту повідомлень

Дискретним джерелом повідомлень називають джерело, що видає послідовність символів, що належать деякому алфавіту, де К - об'єм алфавіту; - символи алфавіту.

Статистичний аналіз властивостей джерела полягає в знаходженні вказаної ймовірності. Для цього скористаємося класичною формулою визначення ймовірності:

, (1)

де - кількість випадків, що сприяють події ; - загальна кількість можливих випадків (у даній роботі = 200).

Щодо перехідної (умовної) ймовірності появи символів для простого джерела з пам'яттю (марківське джерело 1-го порядку), то її визначаємо за формулою:

, (2)

де - ймовірність появи символу , якщо перед ним був символ ; - кількість появ пар поєднань символів в тексті.

Провівши розрахунки по вище приведеним формулам (1,2) отримую необхідні значення апріорної та перехідної ймовірностей. Для зручності результати розрахунків подаю у вигляді таблиць:

Таблиця 1 (Апріорна ймовірність)

Таблиця 2 (Перехідна ймовірність)

		АА		АВ
		ВА		ВВ

Для знайдених ймовірностей перевіряємо дотримання таких умов:

(3)

Те, що перша рівність не дорівнює одиниці обумовлено обмеженістю повідомлення. Щоб добитися повної відповідності рівностям (3), потрібно взяти повідомлення з нескінченної кількості символів.

2.2. Оцінка теоретичної та емпіричної появи ланцюжків символів на виході джерела

Емпірична ймовірність - це ймовірність, одержувана в результаті практичних випробувань. Для її обчислення скористаюся формулою (1) і як результат отримаю:

,

де - кількість появ ланцюжка ‘AB’ в тексті; - кількість повних четвірок із зсувом в тексті;

,

де - кількість появ ланцюжка ‘BAA’ в тексті; - кількість повних четвірок із зсувом в тексті;

де - кількість появ ланцюжка ‘ААAB’ в тексті; - кількість повних четвірок із зсувом в тексті.

Теоретична ймовірність - це ймовірність, визначена за допомогою формул і теорем теорії ймовірності. Зокрема, для даних ланцюжків ‘BA’, ‘BAA’, ‘АAAB’ теоретичну ймовірність знайду як добуток ймовірностей настання сумісних подій:

де вхідні у формулу значення ймовірності взяті з таблиць 1,2.

Використовуючи формулу Шенона, обчислю кількість інформації, що міститься в кожному ланцюжку символів(кількість інформації) – це величина, що визначає число двійкових символів, необхідних для передачі ланцюжка, і обчислювана відповідно до міри інформації по К.Шенона:

[біт/повідом] (5)

де - ймовірність появи ланцюжка, log - позначає двійковий логарифм.

біт/пов.

біт/пов.

біт/пов.

2.3. Обчислення безумовної та умовної ентропії джерела.

Ентропія - це математичне сподівання по часткових кількостях інформації повідомлень, що генеруються джерелом. Безумовна ентропія джерела обчислюється по формулі

[біт/пов.] (6)

При цьому не враховується статистичний зв'язок між символами, тому така ентропія називається безумовною.

З виразу (6) бачимо, що ентропія джерела рівна нулю тоді, коли одна з ймовірності рівна одиниці, а решта вірогідності відповідно рівна нулю, тобто коли має місце повній визначеності вибору.

З другого боку, легко показати, що найбільша невизначеність вибору при заданому об'ємі алфавіту К відповідає ситуації, коли апріорна вірогідність всіх вибірок рівна між собою. В цьому випадку ентропія рівна

[біт / пов.] (7)

Між значеннями величин ентропій, обчисленими по формулах (6) і (7), повинна дотримуватися очевидна умова

(8)

Облік статистичних зв'язків між символами, послідовно вибираних джерелом веде до подальшого зменшення ентропії, визначуваної формулою (6), що не враховує цього зв'язку. Ентропія, що враховує статистичну залежність між символами, називається умовною і знаходиться за формулою:

[біт/повід] (9)

де [біт/повід] (10)

- умовна часткова ентропія, обчислювана для кожного символу .

При цьому повинна виконуватись очевидна умова:

(11)

За розрахунками отримаємо:

біт/пов.,

біт/пов.,

біт/пов.,

біт/пов.,

біт/пов.

Знаючи умовну ентропію повідомлення можна обчислити його надмірність, що враховує надлишкову кількість символів у повідомленні, ніж це потрібно для передачі даної інформації:

(12)

а також головну характеристику джерела – його продуктивність:

[біт/с] (13)

де с (14)

- середня тривалість одного символу, видаваного джерелом.

Отже, маємо:

,

с,

біт/с.

2.4. Статистичне двійкове кодування джерела

Статистичне (або ефективне) кодування використовується для виключення, точніше за істотне зменшення надмірності повідомлень, обумовленої залежністю символів, що виробляються джерелом.

Одним з широко використовуваних на практиці алгоритмів статистичного кодування, наприклад, в програмах-архіваторах комп'ютерних файлів, є код Шеннона-Фано.

Користуючись даною методикою (алгоритмом) проведу побудову укрупненого алфавіту використовуючи комбінації символів по 4. Всі можливі комбінації, що відповідають укрупненому алфавіту та ймовірності їх появи відображені в таблиці 3:

Таблиця 3. (Ймовірністьпоявисимволів вторинного алфавіту)

Символ вторинного алфавіту	Комбінація	Число появлень у тексті	Ймовірність появи
	AAAA		0.010
	AAAB		0.0507
	AABA		0.0659
	AABB		0.0304
	ABAA		0.0761
	ABAB		0.0913
	ABBA		0.1116
	ABBB		0.0761
	BAAA		0.0507
	BAAB		0.0456
	BABA		0.1167
	BABB		0.0862
	BBAA		0.0203
	BBAB		0.0913
	BBBA		0.0710
	BBBB		0.0558
		Сума = 197	Сума = 1.0

Відповідні кодові комбінації та їх довжини за методом Шеннона-Фано, для даного укрупненого алфавіту, приведені в таблиці 4.

Таблиця 4. (Кодування по алгоритму Шеннона-Фано)

		1-ий розряд	2-ий розряд	3-ий розряд	4-ий розряд	5-ий розряд	6-ий розряд	- довжина комбінації
B11	0,1167
B7	0,1116
B6	0,0913
B14	0,0913
B12	0,0862
B5	0,0761
B8	0,0761
B15	0,0710
B3	0,0659
B16	0,0558
B2	0,0507
B9	0,0507
B10	0,0456
B4	0,0304
B13	0,0203
B1	0,01

Для того, щоб оцінити ефективність одержаного статистичного коду, обчислю середню довжину кодової комбінації і коефіцієнт стискання по формулах:

, (15)

(16)

де - загальна довжина початкового тексту в двійкових розрядах,

, (17)

- кількість укрупнених символів у початковому тексті, розбитому на блоки по m символів в кожному.

Причому знайдені величини повинні приблизно задовольняти співвідношенням:

(18)

(19)

В результаті отримаю:

l_cр= 3*0.1167+3*0.1116+3*0.0.913+4*0.0913+4*0.0862+4*0.0761+4*0.0761+

+4*0.0710+4*0.0659+4*0.0558+4*0.0507+5*0.0507+5*0.0456+5*0.0304+

+6*0.0203+6*0.01=4.0665

,

,

.

Правильність розрахунків перевіряю з умов:

2.5. Побудова графіків модулюючого та модульованого сигналів

Проведу обчислення тривалості для двійкової посилки модулюючого (первинного) сигналу виходячи з умови:

. (20)

При цьому, для полегшення подальших розрахунків і побудов графіків сигналів і спектрів, величину округляю до цілого меншого значення.

Знаючи шпаруватість сигналу Q обчислюю частоту першої гармоніки:

(21)

Задавшись значенням p – кількості періодів коливань, що укладаються на тривалості однієї посилки, вираховую частоту несучої частоти:

(22)

А також значення частот для частотно-модульованого сигналу, що відповідають 0 і 1:

(23)

(24)

Провівши розрахунки, матиму:

с,

с,

Гц,

кГц,

кГц,

кГц.

Взявши шістнадцят перших символів свого повідомлення як модулюючий сигнал, побудую графіки, що відображатимуть даний сигнал та промодульований за різними принципами сигнал – переносник:

Рис.1 Графіки модулюючого і модульованого сигналів.

а) модулюючий сигнал d(t);

б) відповідний модульований сигнал для випадку АМ;

в) модульований сигнал для випадку ЧМ;

г) модульований сигнал для випадку ВФМ.

2.6. Побудова спектрів модулюючого і модульованого сигналів

Спектром сигналу називають функцію, що показує залежність інтенсивності різних гармонік у складі сигналу від частоти цих гармонік. Спектр періодичного сигналу – це залежність коефіцієнтів ряду Фур’є від частот гармонік, яким ці коефіцієнти відповідають. В загальному розкладення в ряд Фур’є відображається виразом:

, [B] (25)

де k – номер гармоніки;

значення її кругової частоти;

- значення звичайної частоти.

В даному випадку, корисний сигнал s(t) представляє собою періодичну послідовність прямокутних імпульсів з амплітудою і шпаруватістю Q,. Врахувавши це спрощу вираз для коефіцієнтів ряду Фур’є і отримаю:

[B] для k = 1,2,…

[B] для k = 0. (26)

Взявши величину амплітуди сигналу 1 В та шпаруватість Q = 5 розрахую спектр для модулюючого (первинного) сигналу. При цьому обмежусь значенням k = 20. Всі результати розрахунків подаю у вигляді таблиці:

Таблиця 5. (Амплітуди гармонік модулюючого сигналу)

k	, [Гц]	, [В]
		0,2
		0,3742
		0,3027
		0,2018
		0,0935
		0,0000
		0,0624
		0,0865
		0,0757
		0,0416
		0,0000
		0,034
		0,0505
		0,0466
		0,0267
		0,0000
		0.0234
		0.0356
		0.0336
		0.0197

За розрахунками будую графік сигналу та його спектр:

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900

Рис.2. Первинний сигнал і його спектр

а) первинний (модулюючий) сигнал

б) спектр первинного сигналу

Амплітудно-модульований сигнал представляє собою добуток двох сигналів: несучої та корисного сигналу. При цьому його спектр зміщується на частоту несучої, якій відповідає нульова гармоніка, а решта складових спектру зменшуються вдвічі і симетрично розташовуються відносно нульової.

Фізичне пояснення походження множника 0.5 полягає в наявності двох бічних смуг («верхньої» і «нижньої») у АМ спектру в порівнянні із спектром модулюючого сигналу:

де S(t) – результуюче рівняння АМ-сигналу

Основуючись на вищесказане проводжу побудову спектру АМ-сигналу: Рис.3 Побудова спектру АМ сигналу

а) модулюючий двійковий сигнал s(t);

б) гармонійний сигнал-переносник (несуча частота);

в) АМ сигнал;

г) спектр АМ сигналу.

Для побудови спектру ЧМ-сигналу представлю графік даного сигналу б) як суму двох графіків в) і г) АМ-сигналів і .

Побудую спектри для кожного з цих АМ - сигналів, а потім, виходячи з властивості адитивності спектрів, побудую спектр ЧМ-сигналу як їх суму. Для знаходження проміжних спектрів і сигналів скористаюся описаною вище методикою побудови спектрів АМ.

При цьому врахуємо, що шпаруватість сигналу становить 5/4, а шпаруватість дорівнюється 5 (це очевидно з графіків сигналів).

Отже, як результат отримаємо графік, що відображатиме побудову ЧМ-сигналу, в якому:

а) модулюючий двійковий сигнал s(t);

б) ЧМ сигнал;

в) складова ЧМ сигналу;

г) складова ЧМ сигналу;

д) спектр ;

е) спектр ;

ж) спектр ЧМ - сигналу.

Рис.4. Побудова спектру ЧМ сигналу

Побудову спектру ВФМ сигналу проведу аналогічно попередньому випадку. Для цього дію корисного сигналу s(t) на несучу заміню дією допоміжного сигналу. Причому проміжний сигнал є послідовністю різнополярних прямокутних імпульсів, що має шпаруватість Q = 2 і період в два рази більший, ніж у модулюючого сигналу s (t).

Щоб побудувати спектр ВФМ сигналу скористаюся тією ж самою процедурою, що і для побудови АМ-сигналу. Лише врахую подвоєну амплітуду (тобто подвійний розмах сигналу), а також значення частот самих гармонік зменшу вдвічі (враховується подвійний період допоміжного сигналу). Крім того, нульова гармоніка допоміжного сигналу буде рівна 0, оскільки сигнал симетричний щодо нуля.

Рис.5. Побудова спектру ВФМ сигналу

а) модулюючий двійковий сигнал s (t);

б) допоміжний (віртуальний) модулюючий сигнал;

в) гармонійний сигнал-переносник (несуча частота);

г) ВФМ сигнал;

д) спектр ВФМ сигналу.

2.7. Розрахунок середньої потужності та практичної ширини спектру модулюючого сигналу

У відповідність з визначенням середня потужність за період T прямокутної послідовності імпульсів виражається через інтеграл:

, [Вт] (27)

де - тривалість;

- амплітуда;

Q - шпаруватість імпульсів.

Інший спосіб знаходження середньої потужності полягає у використовуванні рівності Парсеваля:

, [Вт] (28)

де - потужності гармонік спектра імпульсів;

- амплітуди гармонік спектра імпульсів.

Під практичною шириною спектру розуміють такий інтервал частот, в якому зосереджена основна частка потужності, наприклад, 95% від повної потужності.

Щоб знайти практичну ширину спектру потрібно знайти найбільший номер гармоніки, що відповідає умові:

[Вт] (29)

а потім вирахувати ширину спектру:

, [Гц] (30)

де - інтервал частот між гармоніками, рівний частоті 1-ої гармоніки.

Отже, отримаємо:

Вт

Вт

звідси = 9 і практична ширина модулюючого сигналу рівна:

Гц.

2.8. Розрахунок пропускної спроможності двійково-симетричного каналу

Канал зв'язку називається двійковим, якщо на його вході діє алфавіт , а на виході . Якщо в каналі вірогідність помилок при передачі 0 і 1 однакова, то такий канал називається симетричним. Типовим прикладом двійково-симетричного каналу (ДСК) є канал, утворений між входом модулятора на передаючій стороні і виходом демодулятора на приймальній стороні.

Найзагальнішою і основною характеристикою каналу є його пропускна спроможність. Вона визначає максимальну кількість інформації, яка може бути передана по каналу в одиницю часу за умови якнайкращого узгодження його з джерелом.

Якщо оптимального узгодження в значенні якнайкращого розподілу ймовірності букв в передаваному тексті не досягнуто, то кількість втраченої по каналу інформації визначається ненадійністю.

У разі двійково-симетричного каналу вона визначається ймовірністю помилки в каналі і рівна

(31)

Пропускна спроможність ДСК обчислюється за формулою:

, [біт/с] (32)

де [бод] - технічна швидкість надходження двійкових посилок.

Враховуючи вихідні дані зробимо ряд припущень щодо моделі каналу, лінії зв'язку і способу прийому:

ü хай в каналі діє тільки адитивний білий шум з односторонньою спектральною густиною потужності ;

ü хай коефіцієнт передачі лінії зв'язку рівний 1 у всій смузі частот, тобто амплітуда сигналу на вході приймача рівна амплітуді сигналу на виході передавача ;

ü хай вирішальне правило в когерентному демодуляторі є оптимальним.

Ймовірність помилки розрахую по формулі

(33)

де - енергія двійкової посилки тривалістю ;

- коефіцієнт, що враховує вид модуляції і приймає значення:

= 0.5 для АМ з пасивною паузою

- інтеграл помилок (34)

Даний інтеграл помилок є тим, що не береться, проте його можна знайти користуючись функцією Лапласа :

, (35)

де (36)

можна знайти в довідковій літературі по теорії ймовірностей.

Для швидкого наближеного обчислення корисна формула:

(37)

При розрахунку значення , вибираю так, щоб відповідне йому значення знаходилось в межах: . Дана умова відображає практичні значення даної ймовірності розрахованих дослідним шляхом.

Припустивши, що = 6.5 В, отримаємо:

Дж,

,

,

, біт/c.

2.9. Розрахунок коефіцієнта використання лінії зв’язку

Дискретний канал зв'язку містить усередині себе лінію зв'язку. Пропускна спроможність лінії зв'язку завжди більше, ніж пропускна спроможність дискретного каналу. Тому вводять поняття коефіцієнта використовування лінії зв'язку, який розраховується за формулою:

, (38)

де - пропускна спроможність лінії зв'язку;

- пропускна спроможність двійково-симетричного каналу.

Пропускну спроможність безперервного каналу обчислю за формулою Шеннона:

, [біт/с] (39)

де - ширина безперервного каналу зв'язку;

, - потужності сигналу та перешкоди на виході відповідно;

При цьому смугу пропускання каналу зв'язку вибираю з умови:

,

де - практична ширина спектру модульованого сигналу, яка пов'язана з практичною шириною спектру модулюючого сигналу наступним співвідношенням:

, (40)

Для даного завдання результати розрахунку мають вигляд:

Гц,

Гц,

Вт,

Вт

біт/с,

.

2.10. Розрахунок еквівалентної ймовірності помилкового прийому двійкоквого елемента

Найпоширенішими перешкодостійкими кодами є блокові роздільні систематичні коди. Кодова комбінація такого коду має вигляд

, (41)

у якій k елементів інформаційні, а - контрольні перевірочні елементи. Число перевірочних елементів знаходиться з умови:

, (42)

де - кратність помилок, що виправляються;

m – деякий коефіцієнт, визначуваний з умови

(43)

Оскільки за умовою n = 31,то:

,

,

.

Отже, на кожні 16 інформаційних символів потрібно додати 15 контрольних перевірочних символів, щоб забезпечити необхідну виправляючу здатність коду = 3.

Еквівалентна ймовірність помилкового прийому двійкового елементу для перешкодостійкого блокового коду обчислю по формулі:

, (42)

де - вірогідність помилкового декодування прийнятого блоку;

- вірогідність правильного декодування блоку, яка може бути знайдена як:

, (43)

- ймовірність, що в прийнятих символів міститься 0 помилок;

- вірогідність, що в прийнятих символах міститься 1 помилка;

- вірогідність, що в прийнятих символах міститься помилок.

Дані ймовірності будуть обчислені за допомогою формули Бернуллі:

, (44)

де

(45)

- число комбінацій з помилок в блоці завдовжки ;

Відповідно результати розрахунку набудуть вигляду:

Отже, судячи з розрахунків, при використанні перешкодостійкого коду вірогідність помилкового прийому значно зменшилася.

Висновок:

В цій розрахунковій роботі було розраховано систему передачі інформації. А саме:

· розрахунки параметрів лінії передачі та джерела інформації;

· статистичне кодування джерела;

· побудува графіків, що відображають різні принципи модуляції сигналів та їх спектри;

· аналіз завадостійкості та ефективності системи зв`язку.

Дата добавления: 2015-07-11