Такой конечный элемент называется несогласующимся.

Такая модель имеет более низкую точность, по сравнению с другими используемыми моделями, но для многих случаев данной точности вполне достаточно.

Выразим перемещения узлов КЭ через полином (4).

Для узла i:

(7).

Аналогично для узлов j, k, l.

Подставим в (7), последовательно, координаты узлов i, j, k, l конечного элемента в локальной системе координат.

i
j	a
k	a	b
l		b

Для всех узлов получим матрицу 12х12:

i

j

k

l

i

j

a

a

k

a

b

ab

2 a

b

2 ab

2 b

a

2 ab

l

b

b

2 b

А

В матричной форме: - система линейных уравнений для определения коэффициента (12х12).

Решая, получим: (*)

Для матрицы А, зная координаты узлов, легко найти обратную.

Для получения матрицы жесткости [K] необходимо давать единичные смещения по направлениям связей, наложенных на каждый узел и определять коэффициенты полинома.

Если мы задаем каждый раз 1 единичное смещение, то

(12х12)

Тогда уравнение (*) имеет вид (8)

Выразим усилия через перемещения.

Выразим кривизны через нашу модель (6):

[B]

Для всех узлов:

[3x12]

Тогда:

(9)

Внесем координаты узлов КЭ (i, j, k, l) в (9) и для подставим координаты центра тяжести КЭ и получим матрицу моментов в пластинке.

Матрица жесткости прямоугольного КЭ тонкой пластинки

Теперь необходимо получить связь перемещений узлов с внешней нагрузкой.

Для этого воспользуемся принципом возможных перемещений: на любых бесконечно малых возможных перемещениях системы сумма работ внешних и внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим прямоугольный КЭ тонкой пластины:

Введем вектор узловых сил КЭ t:

Вектор узловых сил в узле m:

Аналогично введем вектора узловых реакций:

, в узле

В расчетной модели внешняя нагрузка прикладывается лишь в узлах, следовательно

(1)

Рассмотрим 2 состояния системы:

1. Действительное (состояние 2) Характеризуется , , , .

2. Вспомогательное (состояние 1).

Во вспомогательном состоянии даем узлам КЭ единичные смещения, в соответствии с принятыми степенями свободы:

Тогда вектора перемещений узлов во вспомогательном состоянии:

Пусть: - работа внутренних сил от состояния 2 на перемещениях вызванных силами состояния 1.

- работа внешних сил состояния 2 на перемещениях, вызванных силами состояния 1.

В соответствии с принципом возможных перемещений:

+ =0 (2)

Работа внешних сил:

В силу (1)

Или

(3)

- вектор смещений узлов КЭ

- вектор реакций в наложенных связях от единичных смещений узлов.

Работа внутренних сил:

, здесь: , - изгибающие моменты

- крутящие моменты

Они совершают работу на соответствующих им перемещениях – изменениях кривизн срединной поверхности пластины.

Дата добавления: 2015-07-11