Конечный элемент.

Нумерация узлов – по часовой стрелке

, - локальная система координат (начало – в узле i)

Положительное направление перемещений

Вектор перемещений узла i:

Связи, накладываемые на узел:

Внутренние усилия в узле в соответствии с теорией тонких пластинок:

Вектор усилий в узле

Отдельный КЭ имеет 4 узла, и в каждом узле имеется 4 степени свободы.

Тогда для конечного элемента t можно построить векторы перемещений узлов и узловых усилий:

/аналогично/

Для того, чтобы решить систему (1) необходимо знать матрицу жесткости [K], т.е. знать зависимость усилий в узлах КЭ от перемещений его узлов.

Для этого, прежде всего, необходимо принять какую-либо зависимость прогиба u от локальных координат элемента и .

Эта зависимость в методе конечных элементов вводится приближенно, обычно в виде полинома.

Как известно, дифференциальное уравнение изгиба пластинки имеет вид:

(5)

Это дифференциальное уравнение 4-го порядка.

Поэтому зависимость изгиба u от координат точки КЭ и примем приближенно в виде полинома 4 порядка, который бы тождественно удовлетворял условию (3) с нулевой правой частью (q=0).

Нетрудно непосредственной подстановкой убедиться, что полином:

тождественно удовлетворяют уравнению

Здесь: и - координаты точки внутри элемента

- неопределенные коэффициенты.

Число слагаемых полинома равно 12 – числу степеней свободы КЭ.

Введем вектор .

Так как полином (6) удовлетворяет уравнению (5) при q=0, то предполагается, что внешняя поперечная нагрузка прикладывается к пластинке точно в узлах сетки КЭ.

Рассмотрим поведение полинома на границах конечного элемента.

Для простоты рассмотрим 1 край: = 0.

- полином 3 степени – непрерывная функция

- угол поворота относительно оси -непрерывная функция

-возникла неопределенность относительно угла поворота относительно оси .

Дата добавления: 2015-07-11