Примеры решения типовых задач 5 страница

Находим значение определителя

Применяем подстановку

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.

таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение

Разделим уравнение на xy²:

Полагаем

.

Полагаем

Произведя обратную подстановку, получаем:

Пример. Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на

Полагаем

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

Получаем:

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:

Дифференцируя, получаем:

Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

Итого, общее решение:

C учетом начального условия определяем постоянный коэффициент C.

Окончательно получаем:

Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение: верно

Ниже показан график интегральной кривой уравнения.

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл имеет вид:

Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С.

С = - 0,5 С = -0,02 С = -1 С = -2

С = 0,02 С = 0,5 С = 1 С = 2

Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общее решение имеет вид:

Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.

Окончательно получаем:

Пример. Решить предыдущий пример другим способом.

Действительно, уравнение может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Тогда

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Итого

С учетом начального условия у(0) = 0 получаем

Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.

При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.

Пример. Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

Итого

Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.

(верно)

Найдем частное решение при у(0) = 0.

Окончательно

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

с начальным условием у(1) = 1.

Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.

С учетом начального условия:

Окончательно

Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Подставим в исходное уравнение:

Общее решение будет иметь вид:

C учетом начального условия у(1) = 0:

Частное решение:

Пример. Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием у(1) = е.

Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Обозначим:

Уравнение принимает вид:

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Сделаем обратную замену:

Общее решение:

C учетом начального условия у(1) = е:

Частное решение:

Второй способ решения.

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:

Решение исходного уравнения ищем в виде:

Тогда

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

Получаем общее решение:

Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1)=0.

В этом уравнении также удобно применить замену переменных.

Уравнение принимает вид:

Делаем обратную подстановку:

Общее решение:

C учетом начального условия у(1) = 0:

Частное решение:

Второй способ решения.

Замена переменной:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

Таким частным решением будет являться функция

Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

Общее решение имеет вид:

Окончательно:

Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему неприменим.

Понизим порядок уравнения с помощью подстановки

Тогда

Окончательно получаем:

Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у₁ = С₁ получается из общего решения при С = 0.

Пример. Решить уравнение

Производим замену переменной:

Дата добавления: 2015-07-11