Примеры решения типовых задач 3 страница

Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

у

-4 -1 0 1 х

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

у

-p -p/2 0 1 x

БИНОМ НЬЮТОНА

Пример. В разложении найти члены, содержащие х^a, если k=3, p=2, n=8, a=9.

По фомуле бинома Ньютона имеем:

C учетом числовых значений:

В принципе, можно написать разложение этого выражения в многочлен, определить коэффициеты либо непосредственно, либо из треугольника Паскаля (степень бинома сравнительно невелика), однако, делать это не обязательно, т.к. необходимо найти только член разложения, содержащий х⁹.

Найдем число i, соответствующее этому члену:

Находим:

Пример. В разложении найти члены, содержащие x^g. т=9, g=6.

По обобщенной формуле бинома Ньютона получаем:

Для нахождения полного разложения необходимо определить все возможные значения n_i, однако, это связано с громадными вычислениями. Однако, т.к. надо найти только члены, содержащие х⁶, то n₁ = 6, а сумма всех четырех значений п равна 9. Значит, сумма п₂ + п₃ + п₄ = 3.

Рассмотрим возможные значения этих величин:

n2
n3
n4

Искомые члены разложения:

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.

Составим таблицы истинности для каждой формулы:

p	r		(pÙr)
И	И	Л	И	И
И	Л	Л	Л	И
Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л

p	r
И	И	Л	Л	Л	И
И	Л	Л	И	И	И
Л	И	И	Л	И	И
Л	Л	И	И	И	И

Данные формулы не являются эквивалентными.

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.

Составим таблицы истинности для заданных формул.

p	q	r	pÛq	(pÛq)Úr
И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И
И	Л	И	Л	И
И	Л	Л	Л	Л
Л	И	И	Л	И
Л	И	Л	Л	Л
Л	Л	И	И	И
Л	Л	Л	И	И

p	q	r	pÞq	qÞp	(pÞq)Ú(qÞp)	(pÞq)Ú(qÞp)Úr
И	И	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	И
И	Л	И	Л	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	И	И
Л	И	И	И	Л	И	И
Л	И	Л	И	Л	И	И
Л	Л	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	И

Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Пример. Записать матрицы смежности и инцидентности для графа, изображенного на рисунке.

x₁

v₁ x₄ v₂

x₂

x₃

v₃

Составим матрицу смежности:

	v1	v2	v3
v1
v2
v3

Т.е. - матрица смежности.

Матрица инциндентности:

	x1	x2	x3	x4
v1	-1
v2		-1		-1
v3			-1

Т.е.

Если граф имеет кратные дуги (ребра), то в матрице смежности принимается a_ij=k, где k – кратность дуги (ребра).

С помощью матриц смежности и инциндентности всегда можно полностью определеить граф и все его компоненты. Такой метод задания графов очень удобен для обработки данных на ЭВМ.

Пример. Задана симметрическая матрица Q неотрицательных чисел. Нарисовать на плоскости граф G(V, X), имеющий заданную матицу Q своей матрицей смежности. Найти матрицу инциндентности R графа G. Нарисованть также орграф , имеющий матрицу смежности Q, определить его матрицу инциндентности С.

x₄

x₃

v₂

x₂ x₅

x₆

x₁ v₁ v₃ x₇ x₈

x₁₀

x₁₁ x₉

v₄

Составим матрицу инциндентности:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11
v1
v2
v3
v4

Итого:

Построим теперь ориентированный граф с заданной матрицей смежности.

x₄

x₅

v₂

x₂ x₇

х₃ x₆

x₁ v₁ х₈ v₃ x₁₀ x₁₁

х₉

х₁₇ х₁₅ x₁₄

x₁₆ х₁₃ x₁₂

v₄

Составим матрицу инциндентности для ориетированного графа.

Элемент матрицы равен 1, если точка является концом дуги, -1 – если началом дуги, если дуга является петлей, элемент матрицы запишем как ±1.

ПРОИЗВОДНАЯ

Пример. Найти производную функции .

Сначала преобразуем данную функцию:

Пример. Найти производную функции .

Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ

Пример: Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = e^x;

;

Пример: Найти предел .

; ;

.

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Пример: Найти предел .

; ;

; ;

; ;

Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Пример: Найти предел .

; ;

- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

; ;

- применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;

;

Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

Пример: Найти предел .

Здесь y = x^x, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно

Пример: Найти предел .

; - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить ее график.

1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

с осью Ох: y = 0; x = 1;

4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;

Итого: у = -х – наклонная асимптота.

5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.

y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х = 1.

Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.

6. Построим график функции.

Пример: Исследовать функцию и построить ее график.

1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

Наклонная асимптота у = х.

5. Находим точки экстремума функции.

; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0.

y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) – функция возрастает,

y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функция убывает,

у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функция возрастает.

Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.

Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.

> 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция, вогнутая на всей области определения.

6. Построим график функции.

Пример: Исследовать функцию и построить ее график.

1. Областью определения данной функции является промежуток х Î (-¥, ¥).

2. В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;

с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

4. Асимптоты кривой.

Вертикальных асимптот нет.

Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.

- наклонных асимптот не существует.

5. Находим точки экстремума.

Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х³ – 9х² +6х –1 = 0.

Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.

Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число

х = 1. Тогда:

4x³ – 9x² + 6x – 1 x - 1

` 4x³ – 4x² 4x² – 5x + 1

- 5x² + 6x

` - 5x² + 5x

x - 1

` x - 1

Тогда можно записать (х – 1)(4х² – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.

Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

Дата добавления: 2015-07-11