Задача 1. Стационарный случайный процесс Х(t) имеет одномерную функцию плотности вероятности

Стационарный случайный процесс Х(t) имеет одномерную функцию плотности вероятности (ФПВ) мгновенных значений р(х).

Требуется:

1. Определить параметр h ФПВ.

2. Записать математическое выражение и построить график ФПВ- р(х).

3. Определить функцию распределения вероятностей (ФРВ) мгновенных значений

случайного процесса- F(х).

4. Записать математическое выражение и построить график ФРВ- F(х).

5. Рассчитать значение математического ожидания М(х) и дисперсии D(х).

Исходные данные: а=-1; с=2; d=3; b=6; е=0,2.

р(х)

x

a c d b

h

Решение:

h, а£х<с;

1. р(х)= h/(c-b)·(x-b), c£х<d и d<х£ b; (1.1) е, х=d;

0, х<а; х>b.

По условию нормировки: р(х)∙dх=1. (1.2)

Учитывая условие нормировки дельта-функции δ(х-х₀)∙dх=1 найдем параметр h.

р(х)∙dх= h∙dх+ h/(c-b)·(x-b)∙dх+ е∙δ(х-d)∙dх=h∙хô +h/(c-b)·(x-b)²/2ô +

x

+ е∙ δ(х-d)∙dх = h(c-а)-h/(c-b)·(c-b)²/2+е=h(c-a)-h/2·(c-b)+е=h·c/2+h·b/2-h·a+e=h[(c+b)/2-a]+е=1.

Отсюда h=(1-е)/[(c+b)/2-a]. (1.3) р(х) 0,2∙δ(х-3)

h=(1-0,2)/[(2+6)/2+1]=0,16. 0,16

0,16, -1£х<2;

2. р(х)= -0,04·(x-6), 2£х<3 и 3<х£ 6; 0,2, х=3;

0, х<-1; х>6. –1 0 1 2 3 4 5 6

Рисунок 1.1- График ФПВ случайного процесса

3. ФРВ F(х) связана с ФПВ р(х) соотношением: F(х)= р(ν)∙dν. (1.4)

При -∞<х<а, F(х)=0, т. к. р(ν)=0.

При а£х<с, F(х)= h∙dν=h∙ν│ =h(х-а). F(х)=0,16∙(х+1).

При с£х<d, F(х)=h∙(с-а)+ h/(с-b)∙(ν-b)∙dν=h∙(с-а)+h/(c-b)∙(ν-b)²/2│ =

=h∙(c-а)+h/[2∙(c-b)]∙[(x-b)²-(c-b)²]=h∙(c-а)+h/[2∙(c-b)]∙(x-b)²-h∙(c-b)/2=h/[2∙(c-b)]∙(x-b)²+h∙[(c+b)/2-a].

F(х)=0,16/[2∙(2-6)]∙(x-6)²+0,16∙[(2-6)/2+1]= -0,02∙(x-6)²+0,8.

При х=d, F(х)=F(d)=h/[2∙(c-b)]∙(d-b)²+h∙[(c+b)/2-a]+ е∙δ(ν-d)∙dν=h/[2∙(c-b)]∙(d-b)²+ +h∙[(c+b)/2-a]+e. F(х)=F(3)=-0,02∙(3-6)²+0,8+0,2=0,82.

При d<х£ b, F(х)=h/[2∙(c-b)]∙(d-b)²+h∙[(c+b)/2-a]+е+ h/(c-b)∙(ν-b)∙dν=h/[2∙(c-b)]∙(d-b)²+

+h∙[(c+b)/2-a]+е+h/(c-b)∙(ν-b)²/2│ =h/[2∙(c-b)]∙(d-b)²+h∙[(c+b)/2-a]+е+h/[2∙(c-b)]∙[(x-b)²-(d-b)²]=

=h/[2∙(c-b)]∙(x-b)²+h∙[(c+b)/2-a]+e.

F(х)=0,16/[2∙(2-6)]∙(9x-6)²+0,16∙[(2+6)/2+1]+0,2=-0,02∙(х-6)²+1.

При х>b, F(х)=h∙[(c+b)/2-a]+e. F(х)=0,16∙[(2+6)/2+1]+0,2=1.

F(х)

4. 0, х<-1; 1

0,16∙(х+1), -1£х<2; 0,82

-0,02∙(х-6)²+0,8, 2£х<3; 0,62

F(х)= 0,62, х=3; 0,48

-0,02∙(х-6)²+1, 3<х£6.

. 1, х>6.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 х

Рисунок 1.2- График ФРВ случайного процесса

5. М(х)= х∙р(х)∙dх; D(х)= [х-М(х)]²∙р(х)∙dх, (1.5)

М(х²)= х²∙р(х)∙dх; D(х)=М(х²)-М²(х). (1.6)

Учитывая фильтрующее свойство дельта-функции f(х)∙δ(х-х₀)∙dх=f(х₀), рассчитаем значения математического ожидания и дисперсии случайного процесса:

М(х)= х∙h∙dх+ х∙h/(c-b)∙(х-b)∙dх+ х∙е∙δ(х-d)∙dх=h∙х²/2│ +h/(c-b)∙ (х²-x∙b)∙dх+е∙d=

=h/2∙(c²-a²)+h/(c-b)∙x³/3│ -h∙b/(c-b)∙x²/2│ +е∙d=h/2∙(c²-a²)+h/[3∙(c-b)]∙(b³-c³)-h∙b/[2∙(c-b)]∙(b²-c²)+

+е∙d=h/2∙(c²-a²)-h∙(b²+b∙c+c²)/3+h∙b∙(b+c)/2+е∙d.

М(х)=0,16/2∙[2²-(-1)²]-0,16∙(6²+6∙2+2²)/3+0,16∙6∙(6+2)/2+0,2∙3=1,9.

М(х²)= х²∙h∙dх+ х²∙h/(c-b)∙(х-b)∙dх+ х²∙е∙δ(х-d)∙dх=h∙х³/3│ +h/(c-b) (x³-x²∙b)∙dх+d²∙e=

=h∙(c³-a³)/3+h/[4∙(c-b)]∙x⁴│ -h∙b/[3∙(c-b)]∙x³│ +d²∙e=h∙(c³-a³)/3+h∙(b⁴-c⁴)/[4∙(c-b)]-

-h∙b∙(b³-c³)/[3∙(c-b)]+d²∙e=h∙(c³-a³)/3+h/(c-b)∙[(b⁴-c⁴)/4-b∙(b³-c³)/3]+d²∙e.

М(х²)=0,16∙[2³-(-1³)]/3+0,16/(2-6)∙[(6⁴-2⁴)/4-6∙(6³-2³)/3]+3²∙0,2=6,12.

D(х)=6,12-(1,9)²=2,51.

Дата добавления: 2015-07-11