Пример 6. Для заданной консольной балки (рис.1)

Для заданной консольной балки (рис.1)

1. построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

2. Подобрать поперечное сечение при и .

3. Для опасного сечения определить: момент сопротивления, положение нейтральной линии, максимальные напряжения и построить эпюры распределения нормальных напряжений по сечению в аксонометрии.

Рис.1

Дано: а =0,4 м, =30⁰, М =20 кНм, Р =16 кН, q =30 кН/м.

Решение:

Все нагрузки, действующие на консольную балку, расположены в различных плоскостях, проходящих через ось балки, поэтому мы имеем дело со сложным изгибом. Для решения поставленной задачи нагрузки, действующие в произвольных силовых плоскостях нужно разложить на составляющие, расположенные в главных плоскостях и .

Плоскость

Проекция силы на плоскость проецируется с учетом угла

Момент действует в плоскости , поэтому проецируется в натуральную величину.

Нагрузка лежит в плоскости, перпендикулярной , поэтому ее проекция на плоскость будет равна нулю. Покажем плоскость со спроецированной нагрузкой (рис. 2).

Рис.2

Поперечная сила по всей длине балки будет одинакова и равна

Изгибающий момент в сечении, где приложен момент М

Слева от сечения

Справа от сечения

Изгибающий момент в защемлении

Строим эпюры и (рис. 2).

Плоскость

Покажем плоскость и спроецируем на нее всю нагрузку.

Проекция силы Р

Поперечная сила от свободного конца до начала приложения нагрузки q

Поперечная сила от начала действия нагрузки q до защемления

,

где - координата , отсчитываемая от начала распределенной нагрузки.

В сечении начала действия распределенной нагрузки

В защемлении балки

Поперечная сила меняет знак, значит, на эпюре изгибающих моментов будет экстремум в сечении с координатой

Изгибающий момент на свободном конце балки равен нулю.

В сечении начала действия распределенной нагрузки

Экстремальное значение изгибающего момента

В сечении защемления

Строим эпюры (рис. 3).

Рис.3

По двум эпюрам и определяем опасное сечение.

Вероятнее всего опасным сечением будет точка приложения сосредоточенного момента М. Для данного сечения ; . Расположим сечение таким образом, что бы большая сторона сечения была перпендикулярна оси, относительно которой изгибающий момент будет максимальным (рис. 4).

Рис.4

Момент сопротивления прямоугольного сечения с учетом :

относительно оси

относительно оси

Условие прочности при сложном изгибе

Принимаем

Моменты сопротивления сечения

Для определения угла наклона нейтральной линии необходимо определить отношение осевых моментов инерции.

Тангенс угла наклона нейтральной линии

(рис. 5).

Для проверки правильности построения нейтральной линии рассмотрим знаки напряжений от изгиба относительно осей и .

Момент сжимает нижние волокна и растягивает верхние. Ставим около точек В и С знак плюс, а около точек А и Д знак минус.

Момент сжимает правые волокна и растягивает левые. Ставим около точек В и А знак плюс, а около точек С и Д знак минус.

Очевидно, что максимальные напряжения будут в точках, где совпадают знаки (точка В – максимальное положительное нормальное напряжение; Точка D – максимальное отрицательное напряжение).

Тогда нейтральная линия должна пройти через четверти сечения, содержащие в себе точки С и А, как мы и изобразили на рис. 5, отложив угол от оси .

Рассмотри напряженное состояние поперечного сечения. На нейтральной линии (н. л.) нормальные напряжения будут равны нулю.

В точках наиболее удаленных от нейтральной линии (точки В и D) нормальные напряжения имеют максимальные значения

В точках А и С напряжения по модулю равны

Для изображения эпюры распределения нормальных напряжений по сечению начнем со стороны BC.

Напряжения будем откладывать параллельно оси , перпендикулярной поперечному сечению.

В точке В откладываем параллельно оси в сторону положительных значений в масштабе значение

Рис.5

По стороне ВС напряжения будут изменяться пропорционально от максимального значения в точке В до нулевого значения на нейтральной линии. Поэтому соединяем точку В с точкой пересечения нейтральной линией стороны ВС. Из точки С проведем прямую, параллельную оси до пересечения с продолжением прямой проведенной из точки В к точке пересечения нейтральной линии стороны ВС. Получили отрезок, дающий нам значение и знак напряжения в точке С

Те же действия проделываем со стороной АD. Получаем напряжение в точке А

Соединяя значения точек А и В – получаем распределение нормальных напряжений по стороне АВ. Соединяем значения напряжений точек С и D – получаем распределение нормальных напряжений по стороне СD.

Образованная плоскость, соединяющая значения напряжений для точек А, В, С и D является эпюрой распределения нормальных напряжений по сечению. Для определения напряжения в любой точке сечения проводится перпендикуляр к сечению до пересечения с плоскостью эпюры. Величина перпендикуляра даст знак и значение напряжения для данной точки.

Дата добавления: 2015-07-11