Некоторые свойства непрерывных функций.

Для решения вопроса о непрерывности тех или иных конкретных функций полезно знать те операции над функциями, которые сохраняют непрерывность, т.е. операции, будучи применёнными к непрерывным функциям, дают снова непрерывные функции. Это, прежде всего, все арифметические операции, составление сложной функции и переход от данной функции к обратной.

Теорема 1. Если функции и непрерывны в точке , то функции также непрерывны в точке .

Теорема 2. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , тогда сложная функция непрерывна в точке .

Теорема 3. Пусть функция непрерывна в точке , тогда обратная функция будет непрерывна в точке .

Теорема 4. Любая элементарная функция непрерывна в любой точке, принадлежащей области определения функции.

Теорема 5. (Предельный переход под знаком непрерывной функции). Если функция непрерывна в точке x₀, тогда .

Пример. .

Пусть функция определена на множестве .

Определение. Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в любой точке множества X.

Свойства функций, непрерывных на отрезке .

Теорема 1. Если функция непрерывна на , то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Если функция непрерывна на , то она ограничена на

этом отрезке и достигает на нём свои наименьшее и наибольшее значения, то есть наим. наиб.

Теорема 3. Если функция непрерывна на и принимает значения между A и B, то для любого C, расположенного между A и B, найдётся точка , в которой

Иначе говоря, непрерывная функция на отрезке принимает все значения, промежуточные между её наибольшим и наименьшим значениями на этом отрезке.

Теорема 4. Если функция непрерывна на и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка найдётся точка , в которой значение функции обращается в 0 .

Дата добавления: 2015-07-11