Определения непрерывной функции.

1) Функция f (x) называется непрерывной в точке x ₀, если она в этой точке имеет предел, равный значению функции в этой точке, т.е. если

.

2) Функция f (x) непрерывна в точке x ₀, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. .

Определение разрывной функции и точки разрыва. Если функция f (x) не является непрерывной в точке x ₀, (т.е. если не выполняется условие ), то она называется разрывной в точке x ₀, а точка x ₀ называется точкой разрыва функции f (x).

Определение точки разрыва первого рода. Точка x ₀ разрыва функции f (x) называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы f (x ₀-0), f (x ₀+0).

Величина называется скачком функции в точке x ₀.

Определение точки устранимого разрыва. Точка x ₀ разрыва функции f (x) называется точкой устранимого разрыва, если , т.е. (но либо , либо ).

Определение точки разрыва второго рода. Точка x ₀ разрыва функции f (x) называется точкой разрыва II рода, если в точке x ₀ не существует или равен бесконечности хотя бы один из односторонних пределов.

Определение производной.

Производной функции f в точке х ₀ называется предел при отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если этот предел существует:

Обозначается: , , , , .

Определение дифференцируемой функции. Функция f (x) называется дифференцируемой в точке х ₀, если её приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде

,

где – некоторое число, не зависящее от ,

– функция от , бесконечно малая при , т.е. .

---

Дата добавления: 2015-07-11