Читайте также:
|
|
Внутренняя точка интервала
называется точкой максимума (минимума) функции
, если существует такое
, что для всех
из интервала
, содержащегося внутри интервала
, выполняется неравенство
(
). Точки максимума и минимума называют точками экстремума (локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными точками.
Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.
Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.
Если (
) в интервале
, то
строго возрастает (убывает) в этом интервале.
Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции необходимо:
1. найти область определения функции;
2. найти производную функции;
3. приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;
4. определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.
Необходимое условие экстремума функции
Если функция дифференцируема в точке
и достигает в этой точке максимума (минимума), то
.
Точками экстремума могут быть только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.
Достаточные условия экстремума функции
Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка
является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки
для
и
для
, то
является точкой максимума. Если же в этой окрестности
для
и
для
, то
– точка минимума.
Другим достаточным признаком существования экстремума в стационарной точке является условие
(тогда это точка максимума) и
(тогда это точка минимума). При этом считается, что
имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки
.
График функции называется выпуклым в интервале
, если он расположен ниже касательной проведенной в любой точке этого интервала (рис.1)
График функции называется вогнутым в интервале
, если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала. (рис. 2)
Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции
Если в интервале
, то график функции является выпуклым в этом интервале; если же
, то в интервале
график функции вогнутый.
Точка графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Если
─ абсцисса точки перегиба графика функции
, то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых
или
не существует, называются критическими точками второго рода.
Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то точка
есть точка перегиба.
Прямая l называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние точки М(х,у) на кривой от прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат, (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).
Прямая является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если:
или
.
Прямая является горизонтальной асимптотой кривой y = f (x), если существует
или
.
Прямая является наклонной асимптотой кривой y = f(x), если существуют пределы:
или .
При исследовании функции и построении ее графика удобно придерживаться следующего плана.
1. Найти область определения функции.
2. Определить четность (нечетность), периодичность
функции.
3. Найти точки разрыва.
4. Определить точки пересечения графика с осями
координат.
5. Найти точки экстремума и вычислить значения
функции в этих точках.
6. Определить интервалы возрастания и убывания
функции.
7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и
вогнутости.
8. Определить асимптоты.
9. Найти предельные значения функции при аргументе,
стремящемся к границам области определения.
В процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.
Данная функция определена и непрерывна на всей оси ОХ, за исключением точки , где она терпит бесконечный разрыв. Следовательно, прямая
является вертикальной асимптотой. Поскольку
и
, то рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной, то есть это функция общего вида. Точка (0,0) является точкой пересечения функции с осями координат.
Вычислим производную: .
Производная обращается в ноль при и
.
Построим интервалы монотонности (рис. 3):
Рис. 3
Функция возрастает при и убывает при
. Точка
─ точка максимума, а точка
─ точка минимума функции.
Найдем вторую производную:
.
Вторая производная в нуль нигде не обращается, но при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в интервале
график функции выпуклый, а в интервале
─ вогнутый. Точек перегиба функция не имеет.
Выясним, имеет ли функция наклонные асимптоты. ,
.
Следовательно, прямая является наклонной асимптотой при
. Легко проверить, что эта же прямая является наклонной асимптотой при
.
Построим график исследуемой функции:
Рис. 4
Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 94 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
ТЕМА 2. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ | | | ТЕМА 4. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ |