Оценка случайных погрешностей

Математическим аппаратом описания случайных погрешностей является теория вероятностей, согласно которой случайную величину наиболее полно можно охарактеризовать с помощью закона распределения (или плотности распределения) вероятностей. Для измерений чаще всего приходится принимать нормальную и равномерную плотность распределения, но возможно использование и других законов распределения, которые обычно аппроксимируются стандартными функциями. Если выполняются предположения, что погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений, что при большом числе измерений частота появления погрешностей, равных по абсолютному значению, но с различным знаком, одинакова, что малые погрешности встречаются чаще, чем большие, то для описания случайных погрешностей следует применять нормальный закон распределения вероятностей.

Суммирование погрешностей. При измерениях может быть несколько источников как систематических, так и случайных погрешностей. Поэтому практически важны правила нахождения суммарной погрешности измерения по известным значениям погрешностей составляющих ее частей. При суммировании составляющих неисключенной систематической погрешности их конкретные реализации можно рассматривать как реализации случайной величины. Если известны границы составляющих неисключенной систематической погрешности, а распределение этих составляющих в пределах границ равномерно, то граница неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляется по формуле

где k — коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при доверительной вероятности 0,95 он принимается равным 1,1 — ГОСТ 8.207—76).

При суммировании случайных погрешностей необходимо учитывать их корреляционные связи. Суммарная средняя квадратическая погрешность при двух составляющих может быть вычислена по формуле

где σ ₁; σ ₂ — средние квадратические погрешности двух составляющих; р — коэффициент корреляции.

Поскольку на практике трудно получить удовлетворительную оценку коэффициента р, приходится ограничиваться крайними случаями, т.е. считать, что либо р = 0, либо р = ±1. Тогда предыдущая формула примет вид

или

Таким образом, при отсутствии корреляционной связи средние квадратические погрешности складываются геометрически, а в случае жесткой корреляционной зависимости — алгебраически. Этот вывод справедлив и при наличии нескольких источников погрешностей.

Необходимое число измерений. Вопрос о том, сколько измерений требуется произвести для того, чтобы суммарная погрешность не превышала допустимое значение, весьма важен.

Надо четко понимать, что увеличением числа измерений можно уменьшить только случайную составляющую погрешности (т.е. средние квадратические погрешности σ и σ _ср, которые зависят от числа измерений n). В то же время систематическая погрешность не уменьшается при увеличении n, поэтому если остаточная систематическая погрешность является преобладающей, увеличение числа измерений мало что дает. Чаще всего в этом случае ограничиваются одним измерением. Так, например, при измерении напряжения сети неточным переносным стрелочным прибором нет никакого смысла прибегать к многократным измерениям и статистической обработке их результатов.

Поскольку систематические погрешности заведомо превышают случайные, в большинстве случаев достаточно всего одного измерения. При необходимости более точных измерений на первый план выступают случайные погрешности, тогда проведение многократных измерений является оправданным. При этом число измерений нужно выбирать такое, чтобы средняя квадратическая случайная погрешность σ_ср не превышала максимально допустимого значения σ_{ср доп}.

Дата добавления: 2015-07-14