Типовой расчет № 4

Методические указания и задания по курсу «математика»

для экономических специальностей.

Саратов 2008 г.

Составители: Цолан Н.А.

Кириллова Т.В.

Хучраева Т.С.

Тема 4. Интегральное исчисление функции одной переменной.

Типовые примеры.

Задание 1.

Найти неопределенный интеграл:

Решение:

В подынтегральной функции числитель почленно разделим на знаменатель и воспользуемся известными свойствами неопределенного интеграла:

,

.

а также табличными формулами

;

Задание 2.

Найти неопределенный интеграл ;

Решение:

Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t, затем найдем интеграл и вернемся к переменной x. Произведем замену переменной,

t= 4+5x, dt=5dx, dx= , тогда

Задание 3.

Найти неопределенный интеграл :

Решение:

Интеграл находится методом замены переменной.

Введем новую переменную t=2x²-3, выразим подынтегральное выражение через t и найдем первообразную, после чего вернемся к старой переменной x.

.

Задание 4.

Найти неопределенный интеграл ;

Решение:

Интеграл определяется методом замены переменной

.

Задание 5.

Найти неопределенный интеграл

Решение:

Найдем интеграл методом замены переменной

;

Задание 6.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Применим формулу интегрирования по частям .

Интеграл должен быть проще исходного интеграла , определив его, тем самым находят исходный интеграл.

Задание 7.

Вычислить определенный интеграл ;

Решение:

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям в определенном интеграле и формулой Ньютона- Лейбница - первообразная для f(x). Кроме того, следует применять табличные интегралы

; ;

Задание 8.

Вычислить определенный интеграл .

Решение.

Воспользуемся методом замены переменной в определенном интеграле и формулой Ньютона –Лейбница.

Сделаем замену переменной:

При x= 0 t=1, а при x= t=4.

Задание 9.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x²

x+y-2=0

Решение:

y=x² – квадратичная функция, график парабола, вершина в т. О (0,0); ветви направлены вверх.

x+y-2=0; y=-x+2 –линейная функция, график прямая.

Найдем точки пересечения линий:

x₁=-2; x₂=1; y₁=4; y₂=1

Схематично изобразим фигуру в прямоугольной системе координат.

Площадь заштрихованной фигуры определяется формулой

S= где a, b – абсциссы точек пересечения графиков;

f₁ (x)- функция, график которой ограничивает фигуру сверху;

f₂ (x)- функция, график которой ограничивает фигуру снизу.

Таким образом

ед².

Задание 10.

Определить длину дуги кривой, заданной уравнением

; 0 .

Решение:

Длина дуги кривой у= f(x), содержащейся между двумя точками с абсциссами x=a и x=b равна

Найдем производную функций: y= ; ;

Следовательно, длина дуги кривой равна

Расчетные задания,

Задание 1.

Найти неопределенный интеграл:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

Задание 2

Найти неопределенный интеграл:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

Задание 3

Найти неопределенный интеграл

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

Задание 4.

Найти неопределенный интеграл:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

Задание 5.

1.Найти неопределенный интеграл:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28.

29. ; 30. ;

Задание 6.

Найти неопределенный интеграл.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

Задание 7.

Вычислить определенный интеграл:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. 28. ;

29. ; 30. ;

Задание 8.

Вычислить определенный интеграл:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

Задание 9.

Вычислить площаль фигуры,ограниченнойлиниями.

1. ; ; 2. ;

3. ; ; ; 4. ; ;

5. ; ; ; ; 6. ; ;

7. ; ; 8. ; ;

9. ; ; ; 10. ; ;

11. ; ; 12. ; ; ;

13. ; ; ; 14. ; ;

15. ; ; 16. ; ; ;

17. ; ; 18. ; ; ; ;

19. ; ; 20. ; ; ;

21. ; ; ; ; 22. ; ; ; ;

23. ; ; ; 24. ; ;

25. ; ; ; ; 26. ;y=4;

27. ; ; ; ; 28. ; ; ;

29. ; ; 30. ; ;

Задкание 10.

Вычислть длину дуги кривой,заданной уравнениями:

1. ; ;

2. ; ;

3. ; ;

4. ; ;

5. ; ;

6. ; ;

7. ; ;

8. ; ;

9. ; ;

10. ; ;

11. ; ;

12. ; ;

13. ; ;

14. ; ;

15. ; ;

16. ; ;

17. ; ;

18. ; ;

19. ; ;

20. ; ;

21. ; ;

22. ; ;

23. ;

24. ; ;

25. ; ;

26. ; ;

27. ; ;

28. ; ;

29. ; ;

30. ; .

Дата добавления: 2015-07-14