Расчет на прочность при изгибе

а
б
в

Рис.8.15. Напряженное состояние балки при плоском изгибе

На рис.8.15,а показана схема балки и нагрузка, а также построены эпюры Q и М. На рис.8.15,б изображен фасад балки. У ряда точек ее поперечного сечения выделены элементарные кубики, одна из граней которых совпадает с плоскостью поперечного сечения. На рис.8.15,в для примера показано сечение А-А и выделенные в нем элементы 3 и 13.

Элементы 1, 2, 12, 13 и 14 выделены у крайних точек сечений. Здесь , и элементы испытывают простое растяжение или сжатие, т.е. находятся в линейном напряженном состоянии (рис.8.16,а).

Рис.8.16. Напряженное состояние выделенных элементов балки

Элементы 6, 7 и 8 выделены у точек нейтрального слоя, где , поэтому в их гранях действуют только касательные напряжения и, следовательно, они испытывают чистый сдвиг (рис.8.16,б).

В вертикальных гранях элементов 5, 4, 5, 9, 10 и 11, выделенных у произвольных точек балки, бyдут действовать и и , поэтому эти элементы будут находиться в плоском напряженном состоянии (рис.8.16,в).

Величины и направления и зависят от величины и направления М и Q в рассматриваемом сечении и от положения элемента по высоте сечения. Направления напряжений определяются непосредственно на основании эпюр Q и М. При этом нужно помнить, что эпюры строят на сжатых волокнах. Поэтому элементы 1, 3, 10, 11 и 14 испытывают сжатие, а элементы 9, 12, 13, 4, 2 и 5 — растяжение.

Чтобы выявить направление , обратим внимание на знаки в соответствующих сечениях. Например, в сечении A-A усилие Q отрицательно, а, следовательно, стремясь повернуть обе части рассеченной балки против часовой стрелки, Q действует на левую сторону сечения вверх (рис8.16,в). Так и будут направлены в правой грани элемента 3; в остальных гранях направления определяются законом парности касательных напряжений.

Величины напряжений могут быть найдены по формулам, полученным в предыдущих параграфах:

а) для элементов 1, 2, 12, 13 и 14

б) для элементов 6, 7 и 8

в) для элементов 5, 4, 5, 9, 10 и 11

Если балка имеет, например, прямоугольное сечение с размерами, показанными на рис.8.16,в, то

Тогда для элементов 2 и 14 ( )

для элемента 7 ( )

для элемента 3 ( ; )

и т.д.

Таким образом, при поперечном изгибе балки материал её находится в неоднородном плоском напряженном состоянии. Условие прочности должно быть записано для так называемой опасной точки балки, т. е. той точки, где материал находится в наиболее напряженном состоянии. Опасной будет одна из следующих трех точек:

а) точка, где нормальное напряжение достигает наибольшей величины;

б) точка, где касательное напряжение достигает наибольшей величины;

в) точка, где и , хотя и не принимают наибольших значений, но в своей комбинации создают наиболее невыгодное сочетание, т. e. наибольшее эквивалентное напряжение по принятой для расчета теории прочности (раздел 10). При этом таких точек может оказаться несколько.

Первая точка будет расположена в крайних волокнах того сечения, где изгибающий момент имеет наибольшее значение (например, точки 2 и 14 на рис.8.15). Напряженное состояние в такой точке линейное (рис.8.16,а) и условие прочности запишется в виде

(8.28)

Вторая точка будет находиться на нейтральной линии того сече­ния, где поперечная сила имеет наибольшее значение (на рис.8.15 это точка 6 и вообще любая точка на участке нейтрального слоя, где ). В такой точке наблюдается чистый сдвиг (рис.8.16,б), и поэтому условие прочности примет вид

(8.29)

Что касается третьей точки, то положение ее не столь определенно. Но где бы она ни была выбрана, в ней будет плоское напряженное состояние (рис.8.16,в), при котором главные напряжения (раздел 10) рассчитывают по формулам

(8.30)

Внося эти величины в выражения для эквивалентных напряжений по различным теориям прочности (раздел 10), получаем условия прочности:

	(8.31)
	(8.32)
	(8.33)
	(8.34)
	(8.35)

где

Для расчета балок из пластичных материалов рекомендуется пользоваться условиями прочности по III и IV теориям.

Практика применения и расчета балок показала, что в подавляющем большинстве реальных случаев опасной является крайняя точка того сечения, где Поэтому практически проверочный расчет балок на прочность состоит в следующем:

1) находят опасное сечение, т. е. сечение, в котором действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент

2) по сортаменту или вычислением определяют момент сопротивления сечения относительно нейтральной линии сечения;

3) применяют только одно условие прочности (8.28), которое и называется основным.

По этой схеме для большинства профилей (круглого, прямоугольного, двутаврового и других сечений) легко выполним и проектировочный расчет; при этом условие прочности (8.28) записывается в виде

(8.36)

Определив необходимый момент сопротивления балки, и приняв определенный профиль поперечного сечения, подбирают его размеры.

Дата добавления: 2015-07-14