Ускорение Кориолиса

Для выяснения физической сущности Кориолисова ускорения рассмотрим движение в плоскости вращения. Нас будет интересовать движение точки с постоянной относительной скоростью вдоль радиуса (рис. 5.6).
На рисунке указаны положения точки в два момента времени, разделенных промежутком , в течение которого радиус повернется на угол . Относительная скорость - скорость вдоль радиуса изменяется за это время только по направлению, а скорость - переносная скорость, перпендикулярная радиусу, изменяется как по направлению, так и по модулю (). Модуль полного изменения скорости, перпендикулярной радиусу, равен

где учтено, что , для .
Следовательно, кориолисово ускорение согласно определению ускорения, по модулю равно
.

В векторном виде это выражение можно представить как видно из соотношения направлений и на рис. 5.6, следующим образом:
.

Ускорение Кориолиса обусловлено различным значением переносной скорости в разных точках подвижной системы координат. Иначе говоря,

ускорение Кориолиса является результатом взаимного влияния двух движений – переносного и относительного

Для определения ускорения Кориолиса удобно пользоваться правилом Жуковского.

Пусть имеем точку M, движущуюся с относительной скоростью (рис. 5.7). Построим плоскость , перпендикулярную вектору угловой скорости переносного вращения . Спроецируем на эту плоскость. Проекцию обозначим . Она является вектором, ее модуль
,
тогда

(5.8)

Правило Жуковского: модуль ускорения Кориолиса равен удвоенному произведению угловой скорости переносного вращения на модуль проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения. Чтобы получить направление ускорения Кориолиса, следует вектор проекции относительной скорости повернуть на вокруг оси, параллельной оси переносного вращения, в направлении этого вращения.

Рассмотрим случаи обращения в ноль ускорения Кориолиса:
- , т.е. переносное движение является поступательным;
- , т.е. в те моменты времени, в которые происходит изменение направления относительного движения;
- , т.е. когда скорость относительного движения параллельная вектору угловой скорости переносного вращения.

Пример. Шар радиусом R = 1 м вращается вокруг вертикальной оси по закону рад. По меридиану шара движется точка M по закону (рис. 5.8 а). Расстояние S отсчитывается от точки меридиана. Определить абсолютную скорость и ускорение точки M в момент времени t = 1 с. Решение За переносное движение точки примем вращение ее вместе с шаром вокруг оси (рис. 5.8 а). Тогда относительным движением точки будет ее движение по меридиану шара. Определим положение точки M на меридиане в момент времени t = 1 с, имеем , так как R = 1 м, то положение точки определяется углом широты: . Совместим начало декартовых координат с этим положением точки M. Тогда ось , ось x проходит через точку C, ось y перпендикулярна прямой MC (рис. 5.8 а). Вычислим угловые скорость и ускорение переносного движения. Получаем ; при t = 1 с, . Угловая скорость . Знак минус у показывает, что вращение шара происходит по часовой стрелке ( < 0). Так как и при t = 1 с, , то угловое ускорение переносного движения . Знак минус указывает, что оно совпадает с направлением . Так как знаки у и одинаковы, то вращение шара в рассматриваемый момент времени является ускоренным. Абсолютную скорость точки определяем по формуле

(5.9)

Скорость переносного движения (при t = 1 с), это скорость точки M при ее вращении вместе с шаром по окружности радиуса (рис. 5.8 б), тогда
.
Направлена скорость переносного движения вдоль оси y, т.е. по касательной к параллели шара.

Скорость относительного движения точки - это скорость точки M при ее движени вдоль меридиана. Плоскость zMx будет являться спрямляющей плоскостью, тогда , где . При t = 1 с, .

Следовательно, . Знак плюс у указывает, что направлено в сторону возрастания S по касательной к меридиану (рис. 5.8 в); проекция относительной скорости на ось х - , а на ось z - .

Следовательно, проекции абсолютной скорости на оси координат Mxyz (рис. 5.8 б), (рис. 5.8 в) равны
,
,
.
Модуль абсолютной скорости
.
Вычислим абсолютное ускорение.
Так как переносное движение является вращением шара вокруг неподвижной оси, то абсолютное ускорение точки определим по формуле

, где

(5.10)

Переносное нормальное ускорение
.

Ускорение направлено по кратчайшему расстоянию от точки M до оси вращения, т.е. вдоль оси "x" (рис. 5.9 а). Переносное касательное ускорение перпендикулярно и направлено в соответствии с направлением углового ускорения по скорости вдоль оси "у". Числовое значение этого ускорения
.

Вычислим относительное ускорение (рис. 5.9 б)
.
Ускорение направлено к центру кривизны траектории относительного движения, т.е. к центру шара O. Относительное касательное ускорение , где . Следовательно, . Так как положительно, то направлено в сторону возрастающих значений S по касательной к траектории относительного движения. Относительное движение оказалось ускоренным в рассматриваемый момент времени.

Ускорение Кориолиса определим по правилу Жуковского. Его модуль , где - проекция на плоскость, перпендикулярную оси вращения z (рис. 5.8 в), т.е. . Имеем:
.
После этого находим . Чтобы определить направление следует повернуть вокруг оси Mz, параллельной на в сторону переносного вращения, т.е. в рассматриваемом случае по часовой стрелке. Получаем, что ускорение направлено по ускорению , т.е. вдоль оси My (рис. 5.9 в).

Для определения абсолютного ускорения выбираем прямоугольные оси координат Mxyz и проецируем обе части векторного равенства (5.9) на эти оси, учитывая направление составляющих ускорений (рис. 5.9 б). Получаем:


.

Числовое значение абсолютного значения
.

Кориолисова сила в данном случае равна

и направлена противоположно ускорению ()

Действие этой силы Кориолиса, возникающей вследствие суточного вращения земли, объясняет так называемый закон Бэра, т.е. размывание правых берегов рек в Северном полушарии, текущих в направлении меридиана с юга на север (например, Енисей), и левых берегов рек, текущих с севера на юг (например, Волга).

Дата добавления: 2015-12-08