Рассчитать спектр плотности мощности сообщения ; энергетическую ширину спектра ; интервал корреляции сообщения. Построить графики и .

Читайте также:

Исходное непрерывное сообщение a (t) по условию представляет собой стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием (). Заданы его мощность () и функция корреляции .

Гауссовский случайный процесс, также называемым нормальным в любой момент времени характеризуется одномерной функцией плотности вероятности (ФПВ) следующего вида:

, (2.1)

Во временной области стационарный случайный процесс определяется функцией корреляции B_a(τ), а в спектральной – спектром плотности мощности или энергетическим спектром G_a(ω), где ω=2πf. Эти характеристики связаны парой преобразований Винера-Хинчина:

(2.2)

Так как для стационарного случайного процесса обе эти функции действительны и четны, то соотношения можно представить в виде:

(2.3)

Найдем спектр плотности мощности стационарного случайного процесса

по его функции корреляции.

Воспользовавшись справочником Двайта и сделав необходимые замены, получим:

(2.4)

Найдем начальную энергетическую ширину спектра сообщения.

(2.5)

Для нахождения возьмем производную и приравняем ее к нулю.

Получаем при ω = 0, = = .

Подставляя G _max в выражение для получаем:

. (2.8)

Рассчитаем интервал корреляции. Так как область интегрирования положительна, то знак модуля можно опустить.

. (2.9)

Графики функции корреляции и спектра плотности мощности представлены на рисунке 8 и рисунке 9 соответственно.

Рисунок 8. График функции корреляции -

Рисунок 9. График спектра плотности мощности -

ЗАДАНИЕ 3.

Рассчитать СКП фильтрации сообщения; мощность отклика ФНЧ; частоту и интервал временной дискретизации отклика ФНЧ. Считать, что исходное сообщение воздействует на идеальный ФНЧ с частотой среза ()

Отклик ФНЧ на гауссовское воздействие будет случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и мощностью, определяемой из соотношения:

(3.1)

Здесь учтено, что амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ равна единице в полосе частот и нулю вне этой полосы. Кроме того, его полоса пропускания принята равной энергетической ширине спектра: , где и – соответственно нижняя и верхняя частоты, которые для равны: . Отсюда частота среза ФНЧ . Это говорит о том, что отклик ФНЧ является ограниченным по спектру сообщением. В нем не содержатся составляющие исходного сообщения на частотах .

Количественно потери при фильтрации сообщения характеризуются средней квадратической погрешностью

(3.2)

Найдем частоту и интервал временной дискретизации отклика ФНЧ.

(3.3)

(3.4)

ЗАДАНИЕ 4.

Рассчитать интервал квантования, пороги квантования,, и СКП квантования квантователя АЦП; распределение вероятностей,, и интегральное распределение вероятностей,, квантованной последовательности; энтропию, производительность и избыточность квантованной последовательности. В расчетах принять квантование с равномерным шагом.

Импульсы на выходе дискретизатора могут принимать бесчисленное множество значений из ограниченного или неограниченного диапазона , называемого шкалой сообщения. В результате равномерного квантования с шагом этот диапазон разбивается на конечное число уровней квантования ,

Для определенного шага квантования порогов квантования учтем, что с вероятностью 0,997 гауссовский случайный процесс находится в диапазоне , где (ввиду симметрии ФПВ).

Если в этом диапазоне разместить L-2 уровня, а два уровня отвести на области вне этого диапазона, т.е. и , то шаг квантования можно рассчитать следующим образом:

. (4.1)

Пороги квантования находим из выражения

, где ; (4.2)

;

Таблица 2 - Пороги квантования.


, В		-5,56	-3,707	-1,853		1,853	3,707	5,56

Уровни квантования определяются следующим образом:

, (4.3)

где , . (4.4)

Из формулы (4.4) находим

;

Теперь в соответствии с соотношением (4.3) находим

;

Таблица 3 - Уровни квантования.


, В	-6,486	-4,633	-2,779	-0,927	0,927	2,779	4,633	6,486

Таким образом, правило квантования отсчетов состоит в следующем. Если входной отсчет попадает в интервал , то отклик квантователя принимает значение . В процессе квантования образуется специфическая погрешность , называемая шумом квантования. Вычислим – среднюю квадратическую погрешность квантования, или мощность шума квантования, в моменты времени .

, (4.5)

где P_X и P_Y – мощности входного и выходного сигналов квантователя, а B_XY – коэффициент взаимной корреляции между этими сигналами.

, (4.6)

- постоянная. (4.7)

W_x(x) – ФПВ гауссовской величины X.

, (4.8)

Подставляя в выражение (4.8) значения из табл. 2 находим:

;

Таблица 4 - ФПВ гауссовской величины.

	-6,486	-4,633	-2,779	-0,927	0,927	2,779	4,633	6,486
)	0,00047	0,00945	0,07	0,19	0,19	0,07	0,00945	0,00047

Подставляем в (4.7) значения из табл. 4:

;

, (4.9)

где - распределение вероятностей дискретной случайной величины , .

, . (4.10)

- табулированная функция Лапласа.

По формуле (4.10) определяем распределение вероятностей дискретной случайной величины:

;

Таблица 5 - Распределение вероятностей дискретной случайной величины

0,0013 0,021 0,136 0,341 0,341 0,136 0,021 0,0013

.

Следовательно, мощность шума квантования равна

.

Интегральное распределение вероятностей определяется:

; ; . (4.11)

В соответствии с формулой (4.11) определяем:

Таблица 6 - Интегральное распределение вероятностей.

0,0013 0,021 0,136 0,341 0,341 0,136 0,021 0,0013

0,0013 0,023 0,159 0,5 0,841 0,977 0,999

Рисунок 10. Характеристика квантования. Зависимость от .

Рисунок 11. Распределение вероятностей квантованной

последовательности.

Рисунок 12. График функции распределения вероятности.

Энтропия характеризует количественную меру неопределенности сообщения до его приема, т.е. то количество информации, которое должно быть в среднем получено для опознавания любого уровня из L-мерного их множества. Энтропия равна:

=

. (4.12)

Производительность в ДКС определяется соотношением

. (4.13)

Избыточность последовательности источника

, (4.14)

где - максимальная энтропия для источника дискретный сообщений.

, (4.15)

тогда . (4.16)

ЗАДАНИЕ 5.

Закодировать L-ичную последовательность двоичным безызбыточным кодом; выписать все кодовые комбинации кода и построить таблицу кодовых расстояний кода. Рассчитать априорные вероятности P(0) и P(1) передачи нуля и единицы по двоичному дискретному каналу связи (ДКС); ширину спектра сигнала ИКМ.

В кодере АЦП последовательность , , k= 0,1,2….,преобразуется в последовательность кодовых символов . При организации цифровой связи широкое распространение получило двоичное кодирование, когда кодовые символы принимают только два значения - и . Собственно процедура двоичного безызбыточного кодирования отсчетов состоит в следующем.

Физические уровни , сначала пронумеровываются – заменяются их номерами , т.е. представляются в виде десятичных чисел от 0 до L-1. Затем эти десятичные числа представляют в двоичной системе счисления с основание 2. это представление имеет вид:

, (5.1)

где b_l_,_j – двоичный кодовый символ десятичного числа n, расположенный в j-й позиции кодовой комбинации. В нашем случае L=8, следовательно:

То есть (5.2)

Тогда получаем:

Образуется сигнал импульсно-кодовой модуляции (ИКМ).

Кодовым расстоянием Хемминга между двумя кодовыми комбинациями и называют суммарный эффект от позиционного суммирования по модулю двух кодовых символов сравниваемых кодовых комбинаций:

, . (5.3)

Здесь - арифметическая сумма; - суммирование по модулю два.

В табл. 7: l – номер строки; m – номер столбца.

Таблица 7 - Таблица кодовых расстояний:

Распределение вероятностей относительно нулевого уровня симметрично. Число единиц и нулей в кодовых комбинациях, соответствующих этим вероятностям, также симметрично, т.е. ,

, . (5.4)

Так как среднее число нулей и среднее число единиц в сигнале ИКМ одинаково (это справедливо для гауссовского сообщения способа кодирования), то и вероятности их появления одинаковы: P(0) и P(1)=0,5.