Читайте также:
|
|
Исходное непрерывное сообщение a (t) по условию представляет собой стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием (). Заданы его мощность () и функция корреляции .
Гауссовский случайный процесс, также называемым нормальным в любой момент времени характеризуется одномерной функцией плотности вероятности (ФПВ) следующего вида:
, (2.1)
Во временной области стационарный случайный процесс определяется функцией корреляции Ba(τ), а в спектральной – спектром плотности мощности или энергетическим спектром Ga(ω), где ω=2πf. Эти характеристики связаны парой преобразований Винера-Хинчина:
(2.2)
Так как для стационарного случайного процесса обе эти функции действительны и четны, то соотношения можно представить в виде:
(2.3)
Найдем спектр плотности мощности стационарного случайного процесса
по его функции корреляции.
.
Воспользовавшись справочником Двайта и сделав необходимые замены, получим:
(2.4)
Найдем начальную энергетическую ширину спектра сообщения.
(2.5)
Для нахождения возьмем производную и приравняем ее к нулю.
Получаем при ω = 0, = = .
Подставляя G max в выражение для получаем:
. (2.8)
Рассчитаем интервал корреляции. Так как область интегрирования положительна, то знак модуля можно опустить.
. (2.9)
Графики функции корреляции и спектра плотности мощности представлены на рисунке 8 и рисунке 9 соответственно.
Рисунок 8. График функции корреляции -
Рисунок 9. График спектра плотности мощности -
ЗАДАНИЕ 3.
Рассчитать СКП фильтрации сообщения; мощность отклика ФНЧ; частоту и интервал временной дискретизации отклика ФНЧ. Считать, что исходное сообщение воздействует на идеальный ФНЧ с частотой среза ()
Отклик ФНЧ на гауссовское воздействие будет случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и мощностью, определяемой из соотношения:
(3.1)
Здесь учтено, что амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ равна единице в полосе частот и нулю вне этой полосы. Кроме того, его полоса пропускания принята равной энергетической ширине спектра: , где и – соответственно нижняя и верхняя частоты, которые для равны: . Отсюда частота среза ФНЧ . Это говорит о том, что отклик ФНЧ является ограниченным по спектру сообщением. В нем не содержатся составляющие исходного сообщения на частотах .
Количественно потери при фильтрации сообщения характеризуются средней квадратической погрешностью
(3.2)
Найдем частоту и интервал временной дискретизации отклика ФНЧ.
(3.3)
(3.4)
ЗАДАНИЕ 4.
Рассчитать интервал квантования, пороги квантования,, и СКП квантования квантователя АЦП; распределение вероятностей,, и интегральное распределение вероятностей,, квантованной последовательности; энтропию, производительность и избыточность квантованной последовательности. В расчетах принять квантование с равномерным шагом.
Импульсы на выходе дискретизатора могут принимать бесчисленное множество значений из ограниченного или неограниченного диапазона , называемого шкалой сообщения. В результате равномерного квантования с шагом этот диапазон разбивается на конечное число уровней квантования ,
Для определенного шага квантования порогов квантования учтем, что с вероятностью 0,997 гауссовский случайный процесс находится в диапазоне , где (ввиду симметрии ФПВ).
Если в этом диапазоне разместить L-2 уровня, а два уровня отвести на области вне этого диапазона, т.е. и , то шаг квантования можно рассчитать следующим образом:
. (4.1)
Пороги квантования находим из выражения
, где ; (4.2)
;
;
;
;
;
;
.
Таблица 2 - Пороги квантования.
, В | -5,56 | -3,707 | -1,853 | 1,853 | 3,707 | 5,56 |
Уровни квантования определяются следующим образом:
, (4.3)
где , . (4.4)
Из формулы (4.4) находим
;
Теперь в соответствии с соотношением (4.3) находим
;
;
;
;
;
;
.
Таблица 3 - Уровни квантования.
, В | -6,486 | -4,633 | -2,779 | -0,927 | 0,927 | 2,779 | 4,633 | 6,486 |
Таким образом, правило квантования отсчетов состоит в следующем. Если входной отсчет попадает в интервал , то отклик квантователя принимает значение . В процессе квантования образуется специфическая погрешность , называемая шумом квантования. Вычислим – среднюю квадратическую погрешность квантования, или мощность шума квантования, в моменты времени .
, (4.5)
где PX и PY – мощности входного и выходного сигналов квантователя, а BXY – коэффициент взаимной корреляции между этими сигналами.
,
, (4.6)
- постоянная. (4.7)
Wx(x) – ФПВ гауссовской величины X.
, (4.8)
,
Подставляя в выражение (4.8) значения из табл. 2 находим:
,
;
;
;
;
;
;
;
Таблица 4 - ФПВ гауссовской величины.
-6,486 | -4,633 | -2,779 | -0,927 | 0,927 | 2,779 | 4,633 | 6,486 | |
) | 0,00047 | 0,00945 | 0,07 | 0,19 | 0,19 | 0,07 | 0,00945 | 0,00047 |
Подставляем в (4.7) значения из табл. 4:
,
,
;
;
, (4.9)
где - распределение вероятностей дискретной случайной величины , .
, . (4.10)
- табулированная функция Лапласа.
По формуле (4.10) определяем распределение вероятностей дискретной случайной величины:
;
;
;
;
;
;
;
.
Таблица 5 - Распределение вероятностей дискретной случайной величины
0,0013 | 0,021 | 0,136 | 0,341 | 0,341 | 0,136 | 0,021 | 0,0013 |
.
Следовательно, мощность шума квантования равна
.
Интегральное распределение вероятностей определяется:
; ; . (4.11)
В соответствии с формулой (4.11) определяем:
Таблица 6 - Интегральное распределение вероятностей.
0,0013 | 0,021 | 0,136 | 0,341 | 0,341 | 0,136 | 0,021 | 0,0013 | |
0,0013 | 0,023 | 0,159 | 0,5 | 0,841 | 0,977 | 0,999 |
Рисунок 10. Характеристика квантования. Зависимость от .
Рисунок 11. Распределение вероятностей квантованной
последовательности.
Рисунок 12. График функции распределения вероятности.
Энтропия характеризует количественную меру неопределенности сообщения до его приема, т.е. то количество информации, которое должно быть в среднем получено для опознавания любого уровня из L-мерного их множества. Энтропия равна:
=
. (4.12)
Производительность в ДКС определяется соотношением
. (4.13)
Избыточность последовательности источника
, (4.14)
где - максимальная энтропия для источника дискретный сообщений.
, (4.15)
тогда . (4.16)
ЗАДАНИЕ 5.
Закодировать L-ичную последовательность двоичным безызбыточным кодом; выписать все кодовые комбинации кода и построить таблицу кодовых расстояний кода. Рассчитать априорные вероятности P(0) и P(1) передачи нуля и единицы по двоичному дискретному каналу связи (ДКС); ширину спектра сигнала ИКМ.
В кодере АЦП последовательность , , k= 0,1,2….,преобразуется в последовательность кодовых символов . При организации цифровой связи широкое распространение получило двоичное кодирование, когда кодовые символы принимают только два значения - и . Собственно процедура двоичного безызбыточного кодирования отсчетов состоит в следующем.
Физические уровни , сначала пронумеровываются – заменяются их номерами , т.е. представляются в виде десятичных чисел от 0 до L-1. Затем эти десятичные числа представляют в двоичной системе счисления с основание 2. это представление имеет вид:
, (5.1)
где bl,j – двоичный кодовый символ десятичного числа n, расположенный в j-й позиции кодовой комбинации. В нашем случае L=8, следовательно:
.
То есть (5.2)
Тогда получаем:
Образуется сигнал импульсно-кодовой модуляции (ИКМ).
Кодовым расстоянием Хемминга между двумя кодовыми комбинациями и называют суммарный эффект от позиционного суммирования по модулю двух кодовых символов сравниваемых кодовых комбинаций:
, . (5.3)
Здесь - арифметическая сумма; - суммирование по модулю два.
В табл. 7: l – номер строки; m – номер столбца.
Таблица 7 - Таблица кодовых расстояний:
Распределение вероятностей относительно нулевого уровня симметрично. Число единиц и нулей в кодовых комбинациях, соответствующих этим вероятностям, также симметрично, т.е. ,
, . (5.4)
Так как среднее число нулей и среднее число единиц в сигнале ИКМ одинаково (это справедливо для гауссовского сообщения способа кодирования), то и вероятности их появления одинаковы: P(0) и P(1)=0,5.
Ширина спектра сигнала ИКМ:
, (5.5)
где ; (5.6)
Df0 - ширина спектра исходного сообщения.
k=1,667 – постоянная.
. (5.7)
ЗАДАНИЕ 6.
Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 179 | Нарушение авторских прав