Собственные векторы и собственные значения матрицы

Пусть задана квадратная матрица , X – некоторая матрица–столбец, высота которой совпадает с порядком матрицы A. .

Во многих задачах приходится рассматривать уравнение относительно X

,

где λ – некоторое число. Понятно, что при любом λ это уравнение имеет нулевое решение .

Число λ, при котором это уравнение имеет ненулевые решения, называется собственным значением матрицы A, а X при таком λ называется собственным вектором матрицы A.

Найдём собственный вектор матрицы A. Поскольку E ∙ X = X, то матричное уравнение можно переписать в виде или . В развёрнутом виде это уравнение можно переписать в виде системы линейных уравнений. Действительно .

И, следовательно,

Итак, получили систему однородных линейных уравнений для определения координат x₁, x₂, x₃ вектора X. Чтобы система имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.

Это уравнение 3-ей степени относительно λ. Оно называется характеристическим уравнением матрицы A и служит для определения собственных значений λ.

Каждому собственному значению λ соответствует собственный вектор X, координаты которого определяются из системы при соответствующем значении λ.

Примеры.

1. Найти собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы .

Составим характеристическое уравнение и найдём собственные значения

1. При λ₁ = –1 получаем систему уравнений

Если x₁ = t, то , где tÎR.

1. Если λ₂ = 5

Ответ: Х₂ = ., Х₂ = .

Примеры:

4. Даны координаты вершины пирамиды АВСD А(2,3,4), В(4,7,3), С(1,2,2), D(-2,0,-1). Найдите

a) Векторы , , и их модуль;

b) Косинус угла между векторами и ;

c) Площадь грани АВС;

d) Объем пирамиды.

РЕШЕНИЕ.

a) Найдем координаты векторов , , .

= (4-2; 7-3; 3-4) = (2; 4; -1)

= (1-2; 2-3; 2-4) = (-1; -1; -2)

= (-2-2; 0-3; -1-4) =. (-4; -3; -5).

Определим их длину.

= =

= =

=

b) Найдем косинус угла между векторами и по формуле .

(, ) = 2 · (-1) + 4 · (-1) + (-1) · (-2) = -2 + (-4) + 2 = -4

= = = -0,356348.

c) Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, который построен на тех же векторах, т.е. .

Вычислим векторное произведение .

[ ]= = - + = -9 + 5 +2 , следовательно, координаты данного вектора равны (-9; 5; 2).

|[ ]| = =

В соответствии с геометрическим смыслом векторного произведения

.

d) Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , , по формуле:

V = |(, , )|, где (, , ) смешанное произведение.

= = 11,

тогда V = |(, , )| = ·11 = = 1 .

5. Дана пирамида АВСD с вершинами А(1,5,7), В(-1,0,1), С(3,-2,4), D(0,1,-1). Найти

a) Уравнение грани АВС;

b) Уравнение высоты DМ, опущенной из точки D на грань АВС;

c) Длину высоты DМ;

d) Уравнение ребра DС;

e) Угол наклона ребра DC к плоскости АВС.

РЕШЕНИЕ.

1. Найдем уравнение грани АВС, т.е. уравнение плоскости, проходящей через три точки А,В,С.

= 0 подставим координаты точек и получим

= 0, т.е. = 0 вычислим определитель разложив его по первой строке получим

-27(х-1) – 18(у-5) + 24(z-7) = 0 или

-9х – 6у + 8z -17 =0.

Итак, уравнение грани АВС имеет вид -9х – 6у + 8z -17 =0.

2. Уравнение высоты DМ представляет собой уравнение прямой проходящей через точку D параллельно нормальному вектору грани АВС и будет иметь вид

.

(Каноническое уравнение прямой или уравнение прямой, проходящей через точку М₁(х₁,у₁,z₁) параллельно вектору =(m,n,p) имеет вид ).

3. Длина высоты DМ есть расстояние от точки D до плоскости АВС и находится по формуле

d = = =

(Расстояние от точки М₀(х₀,у₀,z₀) до плоскости Ах +Ву + Сz +D = 0 определяется по формуле

d = )

4. Уравнение ребра DС – уравнение прямой, проходящей через две точки D и C:

или .

(уравнение прямой проходящей через две точки М₁(х₁,у₁,z₁) и М₂(х₂,у₂,z₂) имеет вид .)

5. Угол между прямой и плоскостью Ах +Ву + Сz +D = 0 определяется так: sin = . Для нашей прямой и плоскости уравнение примет вид

sin = = = .

Дата добавления: 2015-12-07