Теорія кіл постійного струму. Розрахунок розгалужених кіл

Читайте также:

1. Еквівалентні перетворення схем ЕК. Особливості розрахунку розгалужених ЕК

2. Метод рівнянь Кірхгофа.

3. Метод контурних струмів.

4. Метод вузлових потенціалів.

1. Ці перетворення спрощують розрахунок ЕК. Основний критерій справедливості еквівалентних перетворень полягає в тому, що струми і напруги в неперетвореній частині схеми залишаються незмінними, такими, як і перед перетворенням.

Послідовне з’єднання опорів

Паралельне з’єднання опорів

, або

Перетворення схем із джерелами ЕРС і струму

Обгрунтуємо останнє перетворення. Для джерела ЕРС

, або

Для джерела струму

, або (3.1)

Відтак, формули переходу від схеми з джерелом струму до схеми з джерелом ЕРС:

; (3.2)

Розгалужені (складні) ЕК відрізняються від простих наявністю декількох контурів. Тому в той час як розглянуті вище еквівалентні перетворення дозволяють розрахувати прості (одноконтурні) ЕК або ж розгалужені кола, які містять у собі одне джерело, а відтак один активний контур і декілька пасивних, для розрахунку складних кіл з кількома активними контурами слід застосовувати спеціальні методи.

2. Метод рівнянь Кірхгофа (МРК) є найзагальнішим методом аналізу ЕК. Сутність його полягає у складанні систем рівнянь відповідно до І і ІІ законів Кірхгофа і розв’язування цієї системи відносно невідомих струмів.

Дано: схема ЕК, значення ЕРС і струмів джерела, а також параметри пасивних елементів кола.

Порядок розрахунку:

1. Визначити кількість вузлів Nв і кількість гілок Nг кола. Кількість лінійно незалежних рівнянь за першим законом Кірхгофа дорівнює Nв – 1, оскільки останнє рівняння для останнього вузла одержують через додавання Nв – 1 попередніх рівнянь і помноження його на (-1). Решта n= Nг – (Nв-1) рівнянь складають за ІІ законом Кірхгофа, бо таким є число незалежних контурів кола. Незалежний контур – це контур, що містить хоча б одну гілку, яка не належить до інших контурів.

2. Відмітити на схемі ЕК струми у гілках і довільно вибрати їх допустимий напрям. Довільно вибрати НОК.

3. Скласти Nв – 1 рівнянь за І законом Кірхгофа.

4. Скласти n= Nг – (Nв-1) рівнянь за ІІ законом Кірхгофа. ЕРС беруться зі знаком «+», якщо їх напрям збігається з НОК. Спади напруг на елементах беруться зі знаком «+», якщо НОК збігається з вибраним напрямом струму.

5. Розв’язати складену систему рівнянь відносно невідомих струмів. Якщо деякі струми у розв’язку і від’ємними, то це означає, що їх напрями насправді протилежні тим умовним, які були раніше вибрані.

Достоїнство МРК: універсальність (придатність як для лінійних, так і нелінійних кіл)

Недолік: метод є громіздким (велика кількість рівнянь, що дорівнює числу гілок). Тому МРК рекомендований до застосування при Nв 3.

Приклад: Дано коло рис. 3.1, Е₁=50В; Е₂= 20В; Е₃=10В; r₁= 1 Ом; r₂ = 2 Ом; r₃ = 2 Ом.

Знайти: струми у гілках І₁, І₂, І₃.

Розв’язання:

1. Nв = 2; Nг = 3. Число рівнянь за першим законом Кірхгофа Nв-1 = 2-1 =1. Число рівнянь за ІІ законом Кірхгофа n= Nг – (Nв-1) = 3 – (2 – 1) = 2.

2. Відмітимо на схемі НОК і напрям струмів.

3. Рівняння за І законом Кірхгофа для 1-го вузла:

4. Рівняння за ІІ законом Кірхгофа для незалежних контурів:

5. Одержуємо систему рівнянь:

Розв’язуючи одним із відомих методів, маємо І₁ = 17,5 А; І₂ = -6,25 А; І₃= -11,25 А. Дійсний напрям струму І₁ збігається, а струмів І₂ і І₃протилежний до вибраних додатних напрямів.

Рисунок 3.1

3. У методі контурних струмів (МКС) застосовуються рівняння, складені лише за ІІ законом Кірхгофа. На прикладі схеми ЕК рис. 3.2 розглянемо термінологію МКС.

Рисунок 3.2

Контурний струм – струм, що тече у кожному незалежному контурі і створює спад напруги на елементах, через які він протікає незалежно від інших струмів. На схемі рис. 3.2 контурні струми І_І і І_ІІ показані стрілками всередині контурів. Контурні струми дорівнюють струмам у таких гілках контуру, які не належать до інших контурів. На рис. 3.2 І_І = І₁; І_ІІ = -І₃. Напрями контурних струмів збігаються з НОК.

Контурна ЕРС – алгебраїчна сума всіх ЕРС контура (з урахуванням НОК). У схемі рис. 3.2 Е_І = Е₁ + Е₂; Е_ІІ = - Е₂.

Власний опір контура – сума всіх опорів, узятих з позитивним знаком, які належать до даного контура. На схемі рис. 3.2, власний опір І контура r₁₁ = r₁ + r₂, власний опір ІІ контура r₂₂ = r₂ + r₃.

Взаємний опір контура – опір, що одночасно належить двом різним контурам. Він береться зі знаком «+», якщо контурні струми, які течуть через цей опір, мають однакові напрями, і «-» у протилежному разі. На схемі рис. 3.2 r₁₂ = - r₂; r₂₁ = -r₂. Відтак r₁₂ = r₂₁.

Дано: схема ЕК, значення ЕРС і струмів джерела, а також параметри пасивних елементів кола.

Порядок розрахунку:

1. Вибрати незалежні контури ЕК і вказати додатні напрями контурних струмів у них.

2. Врахувати власні і взаємні опори контурів, а також контурні ЕРС.

3. Скласти систему рівнянь для контурних струмів відповідно до ІІ закону Кіргофа:

(3.3)

де r_ii – власні опори і-го контура; r_ij – взаємні опори і-го та j-го контурів; Е _j – контурна ЕРС і-го контура.

4. Розв’язати одержану систему рівнянь, тобто визначити струми .

– детермінант системи (3.3)

Детермінант системи симетричний відносно головної діагоналі, оскільки r_ij = r_ji.

Детермінант отримують через заміну і-го стовпця вільними членами системи (3.3)

і-й контур струму знаходиться за формулою:

(3.4)

Вирахувати детермінант можна методом розкладу по елементам і-го стовпця:

(3.5)

де – алгебраїчне доповнення детермінанта , – мінори.

Остаточно, і-й контурний струм може бути знайдений при підстановці формули (3.5) у формулу (3.4):

(3.6)

Достоїнство МКС: менша кількість рівнянь, ніж у МРК.

Метод застосовується для ЕК, у яких N_b N_k (число незалежних контурів не перевищує числа вузлів).

Приклад: Дано: коло рис. 3.2. Е₁=20В; Е₂= 10В; r₁= 2 Ом; r₂ = 2 Ом; r₃ = 4 Ом. Знайти: струми у гілках І₁, І₂, І₃, користуючись МКС.

Розв’язування:

1. Вибираємо незалежні контури кола (І і ІІ) і додатний напрям контурних струмів І_Іі І_ІІ.

2. Власні опори: r₁₁ = r₁ + r₂ = 4 Ом; r₂₂ = r₂ + r₃ = 6 Ом.

Взаємні опори: r₁₂ = r₂₁ = - r₂= -2 Ом.

Контурні ЕРС: Е_І= Е₁+ Е₂ = 30В; Е_ІІ = - 10В.

3. Складаємо систему рівнянь для контурних струмів І_Іі І_ІІ за ІІ законом Кірхгофа:

4. Розв’яжемо систему:

Контурні струми: ; ;

Струми у гілках: ; ; .

4. Метод вузлових потенціалів (МВП) зводиться до розв’язування рівнянь, складених за І законом Кірхгофа. Коренями цих рівнянь є напруги у вузлах схеми ЕК відносно базового вузла з нульовим потенціалом. Струми у гілках, які сполучають вузли, визначаються за законом Ома.

У МВП ми послугуємось наступною термінологією.

Власна провідність вузла – сума провідностей всіх гілок, з’єднаних із цим вузлом, узятих зі знаком «+».

Взаємна провідність між двома вузлами – це сума провідностей гілок, що з’єднують ці вузли, завжди від’ємна.

Вузловий струм - алгебраїчна сума струмів джерела струму у гілках, з’єднаних з цим вузлом («+» - якщо струм спрямований до вузла, «-» - якщо від вузла). Якщо джерела задані у виді джерел ЕРС, то їх слід замінити еквівалентними джерелами струму , підключеними до вузлів даних гілок (рис. 3.3 – рис. 3.4)