Метод трапеций

Если точки разбиения интегральной кривой соединить стягивающимися хордами или провести в каждой точке касательные к кривой, то площадь под интегральной кривой может быть вычислена как сумма площадей прямоугольных трапеций, основаниями которых будут соседние ординаты точек деления (значения функции в этих точках), а высота каждой трапеции - это шаг разбиения . Ломаная линия из хорд или касательных гораздо ближе аппроксимирует интегральную кривую, поэтому заданной точности вычислений можно добиться при меньшем числе разбиений. Формула трапеций имеет вид:

.

Метод парабол (метод Симпсона)

Точность приближенного интегрирования заметно возрастает, если подинтегральную функцию у = f(х) на интервале интегрирования заменять участками квадратичной функции, принимающей в 3-х соседних точках разбиения значения у_{i -1} =f (x_{i -1}), y_i = f (x_i), y_{i +1} = f (x_{i +1}). Общая формула Симпсона для вычисления определенных интегралов имеет вид:

.

Число разбиений интервала интегрирования в этом случае должно быть 2 n и шаг разбиения равен: . Особенность программирования этой формулы состоит в том, что значения функции в нечетных точках разбиения и в четных точках разбиения надо суммировать отдельно, затем умножать первую сумму на 4, вторую - на 2 и складывать со значениями функции на концах интервала интегрирования; умножая результат на h /3, получим искомый интеграл.

Для вычисления значения интеграла с заданной степенью точности необходимо первоначально принять некоторое произвольное количество разбиений участка интегрирования, например, n = 5 и вести расчет интеграла сначала при этом количестве разбиений, а затем при удвоенном, т.е. n = 10, затем при n = 20 и т.д. до тех пор, пока разница между двумя соседними значениями интегралов не станет меньше или равной заданной точности: . Пока заданная точность не достигнута, последовательное удвоение числа разбиений (и, следовательно, уменьшение шага вдвое) будет продолжаться.

Варианты заданий

Вариант	Вычислить с точностью до e = 1×10^-6	Метод
		Трапеций
		Симпсона
		Трапеций
		Левых прямоугольников
		Трапеций
		Правых прямоугольников
		Правых прямоугольников
	;	Симпсона
		Левых прямоугольников
		Правых прямоугольников
		Трапеций
		Левых прямоугольников
		Трапеций
		Симпсона
		Трапеций
		Трапеций

Вариант	Вычислить с точностью до e = 1×10^-6	Метод
		Трапеций
		Правых прямоугольников
		Симпсона
		Трапеций
		Левых прямоугольников
		Симпсона
		Трапеций
		Правых прямоугольников
		Левых прямоугольников
		Симпсона
		Трапеций
		Левых прямоугольников
		Трапеций
		Правых прямоугольников

Индивидуальное ЗАДАНИЕ №8

Дата добавления: 2015-12-07