Читайте также:
|
Последнее равенство является тригонометрической формой комплексного числа в отличие от ранее введенной, называемой алгебраической:
,
где 
, 
.
Пример 2. Записать числа в тригонометрической форме.
1) 
.
Решение.
; 
(рис.2)
.
2) 
.
Решение. 
; 
;
, где 
(рис. 3); 
.
Таким образом, получим
.
3) 
.
Решение.
;
, где 
(рис. 4); 
.
Откуда имеем
.
Замечание. В силу того, что функция tg φ имеет период π, то при определении arg z по зависимости (1.2), необходимо дополнительно учитывать четверть, которой принадлежит комплексное число z.
Легко убедиться, что два комплексных числа будут равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, пропорциональное 2π:
Тригонометрическая форма записи комплексного числа удобна для умножения и деления комплексных чисел и для возведения их в целую положительную степень.
1. Произведение двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:
.
Таким образом, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а одним из значений аргумента является сумма аргументов сомножителей, то есть:
; 
, 
.
Комплексно-сопряженные числа в тригонометрической форме.
.
Таким образом, имеем
и 
На комплексной плоскости числа 
и 
располагаются симметрично относительно вещественной оси 
(рис. 5).
Обратное число в тригонометрической форме.
Число, обратное комплексному числу 
, определяется с учетом полученных результатов, так:
, где 
. (1.3)
Деление двух чисел, записанных в тригонометрической форме.
Из предыдущего пункта получим правило деления комплексных чисел 
в тригонометрической форме:
.
Таким образом, модуль частного комплексных чисел равен частному их модулю, а аргумент равен разности соответствующих аргументов:
; 
.
Пример 3. 
; 
. Найти произведение и частное этих чисел двумя способами.
Решение.
1) Запишем числа в тригонометрической форме:
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
.
Тогда имеем
;
.
2) Проверим полученные результаты, выполнив умножение и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме:
;
.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 68 | Нарушение авторских прав