Производная интеграла, зависящего от параметра - ?

1 .

2.

. .Если верхний предел интегрирования сложная функция , то производная интеграла найдется как производная сложной функции.

3. Если от параметра зависит только нижний предел интегрирования, то:

.

- формула Лейбница.

- гамма-функция.

. при n целом:

3. Степенные ряды. Теорема Абеля о виде области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда.

В общем случае степенной ряд имеет вид

,где - постоянные величины, х – переменная величина. В частном случае при ряд имеет вид

.

Теорема Абеля. 1. Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он сходится также при любых значениях х, для которых . 2. Если степенной ряд расходится при , то он также расходится при любых значениях х, для которых Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, при котором ряд сходится, если , и расходится, если :

С помощью радиуса сходимости можно найти интервал сходимости ряда. При степенной ряд сходится. Для того чтобы найти область сходимости, необходимо дополнительно исследовать сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости

БИЛЕТ 30

1.Теорема Лагранжа о конечном приращении функции, её геометрический смысл. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируемая в каждой его внутренней точке, то на интервале (a, b) найдется такая точка х = с, что .Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим вспомогательную функцию y = F (x), которая будет удовлетворять условиям теоремы Ролля. Здесь - уравнение хорды, стягивающей граничные точки A (a, f (a)) и B (b, f (b)) графика функции ; k – угловой коэффициент этой хорды. На рисунке для любого значения х ордината равняется разности ординаты и ординаты касательной ().

Очевидно, что функция y = F (x) является непрерывной на отрезке и дифференцируемая в каждой его внутренней точке, так как образована с помощью функций и y = x – a, удовлетворяющих этим условиям.Покажем, что функция y = F (x) принимает равные значения в граничных точках отрезка . Действительно, ; .Следовательно, функция y = F (x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и поэтому найдется такая внутренняя точка отрезка х = с, в которой производная этой функции равна нулю. Найдем производную функции .Значение производной функции в точке х = с равно . Отсюда получаем . Часто рассматривают функцию y = f (x) на отрезке . В этом случае последняя формула имеет вид Û . Геометрический смысл теоремы Лагранжа На основании формулы можно утверждать следующее.

Если график функции y = f (x) непрерывный на отрезке и гладкий на интервале , то на этом интервале найдется такая точка , в которой касательная параллельна хорде, стягивающей граничные точки графика функции.

2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, свойства их решений. Определитель Вронского. Общее решение неоднородного уравнения. В общем случае данные уравнения имеют вид ,где - непрерывные функции. Обозначим левую часть дифференциального уравнения, линейную относительно y и ее производных через , т. е. . Тогда уравнение можно записать в виде . Этому неоднородному уравнению соответствует однородное уравнение . Свойство 1. Если и являются решениями однородного уравнения , то их сумма также является решением этого уравнения. Действительно, в силу линейности функции . Свойство 2. Если является решением уравнения , то , где , также является решением этого уравнения. Действительно, . Свойство 3. Если являются решениями уравнения , то , где - постоянные также является решением этого уравнения. В силу линейности уравнения имеем . Свойство 4. Если являются решениями однородного уравнения , а решением неоднородного уравнения , то также является решением неоднородного уравнения. Действительно, Для определения линейной зависимости функций используется определитель Вронского, который имеет вид

.

Теорема Решения линейного однородного дифференциального уравнения являются линейно зависимыми в некоторой области G, если для любого значения x из этой области () определитель Вронского тождественно равен нулю , и, наоборот, решения уравнения линейно независимые, если .

Линейному неоднородному дифференциальному уравнению n -ого порядка соответствует однородное дифференциальное уравнение .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка равняется сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения этого неоднородного уравнения, т. е. , где - линейно независимые решения однородного уравнения , - частное решение неоднородного уравнения .

3.Применение рядов для приближенных вычислений. Применение рядов позволяет с заданной точностью вычислять значение функций, определенных интегралов, находить частные решения дифференциальных уравнений. Основной трудностью при этом является оценка точности вычислений. Данную трудность преодолевают с помощью оценки остаточного члена ряда. Если остаточный член ряда представлен с помощью функции , то необходимо найти - количество членов ряда, учитываемых при расчете, при котором остаточный член не превзойдет требуемой точности вычисления e, т. е. . Если остаточный член представлен в виде знакочередующегося ряда , то оценка погрешности вычисления является наиболее простой. В этом случае применяют терему Лейбница, согласно которой сумма ряда (остатка ряда) по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена ряда. Если же остаточный член представляет знакопостоянный ряд , то для его оценки необходимо составить так называемый можарирующий ряд. Данный ряд обычно является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, сумма которой легко находится.

Дата добавления: 2015-12-07